«Теорема Пифагора» 8 класс

Урок по теме: «Теорема Пифагора»

Тип урока: урок изучения нового материала. ( по учебнику “Геометрия, 7–9”, учебник для общеобразовательных учреждений; Л.С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2009).

Цель:

познакомить учащихся с теоремой Пифагора и историческими сведениями, связанными с этой теоремой; развивать интерес к изучению математики, логическое мышление; внимание.

Ход урока:

1. Организационный момент.

СЛАЙД 2 Сказка » Дом».

Тема нашего урока «Теорема Пифагора». Сегодня на уроке мы познакомимся с биографией Пифагора, изучим одну из самых известных геометрических теорем древности, называемую теоремой Пифагора, одну из главных теорем планиметрии.

2. Актуализация знаний. (Подготовка к изучению нового материала, повторяется тот материал, который нужен будет при доказательстве теоремы)

1) Вопросы:

Какой четырехугольник называется квадратом?

Как найти площадь квадрата?

Какой треугольник называют прямоугольным?

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

3. Изучение нового материала.

1) Историческая справка.

СЛАЙД 3 и 4.

Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора неизвестно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Как всякий отец, Мнесарх мечтал, что сын будет продолжать его дело — ремесло золотых дел мастера. Жизнь рассудила иначе. Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам.

Пифагору приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы Пифагора и др. Пифагор — это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор — «убеждающий речью».)

Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора. Школа Пифагора, или, как ее еще называют, пифагорейский союз, была одновременно и философской школой, и политической партией, и религиозным братством.

Излюбленной геометрической фигурой пифагорейцев была пентаграмма, называемая также пифагорейской звездой. Пифагорейцы пользовались этой фигурой, вычерчивая ее на песке, чтобы приветствовать и узнавать друг друга. Пентаграмма служила им паролем и была символом здоровья и счастья.

Предание гласит, что когда Пифагор пришёл к теореме, носящей его имя, он принёс богам 100 быков. В пятисотых годах до нашей эры Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. В настоящее время известно около 200 доказательств теоремы Пифагора.

Формулировка теоремы

Слайд 5.

2) Доказательство теоремы.

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b.

Ребята с помощью учителя по чертежу доказывают теорему, затем записывают доказательство в тетради.

Доказательство:

— площадь квадрата

— теорема доказана.

4. Первичное закрепление знаний.

Работа по учебнику (Применение теоремы Пифагора к решению задач).

Задачи решаются на доске и в тетрадях.

№ 483 (а),

№ 484 (а).

Вывод: с помощью теоремы Пифагора можно решать два вида задач:

1. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны катеты.

2. Найти катет, если известна гипотенуза и другой катет.

.

5. Самостоятельное решение задач.

№483(б), 484 (б)

6. Домашнее задание: П 54, № 483 (г), 484 (г).

7. Итог урока.

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Для каких треугольников применяется теорема Пифагора?

В чём заключается теорема Пифагора?( Прочитать шуточную формулировку теоремы слайд 6).

Закончить урок стихотворением.

Многим известен сонет Шамиссо:

Пребудет вечной истина, как скоро

Ее познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвопринашенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуя ,вслед.

Они не в силах свету помешать ,

А могут лишь закрыв глаза дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

Теорема Пифагора: формула и доказательство

Теорема Пифагора гласит:

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a2 + b2 = c2,

где

• a и b – катеты, образующие прямой угол.
• с – гипотенуза треугольника.

Формулы теоремы Пифагора

• a = \sqrt{c^{2} — b^{2}}
• b = \sqrt {c^{2} — a^{2}}
• c = \sqrt {a^{2} + b^{2}}

Доказательство теоремы Пифагора

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

S = \frac{1}{2} ab

Для вычисления площади произвольного треугольника формула площади:

S =pr.

• p – полупериметр. p=\frac{1}{2}(a+b+c),
• r – радиус вписанной окружности. Для прямоугольникаr=\frac{1}{2}(a+b-c).

Потом приравниваем правые части обеих формул для площади треугольника:

\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2}(a+b+c) \frac{1}{2}(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left( (a+b)^{2} -c^{2} \right)

2 ab = a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}

0=a^{2}+b^{2}-c^{2}

c^{2} = a^{2}+b^{2}

Ч.т.д.

Обратная теорема Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. То есть для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что

a2 + b2 = c2,

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Доказана она ученым математиком и философом Пифагором.

История

По мнению историка математики Морица Кантора, в Древнем Египте во времена царя Аменемхета I (около XXIII век до н. э.) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 — его использовали гарпедонапты — «натягиватели верёвок». В древневавилонском тексте, относимом ко временам Хаммурапи (XX век до н. э.), приведено приближённое вычисление гипотенузы. По мнению Ван-дер-Вардена, очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.

Рисунок из книги Чжоу би суань цзин (500—200 лет до нашей эры)

В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин», относимой к периоду V—III веков до н. э., приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы. В китайском сборнике задач «Математика в девяти книгах» (X—II веков до н. э.) применению теоремы посвящена отдельная книга.

Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570—490 до н. э.). Имеется свидетельство Прокла (412—485 н. э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки, но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако когда такие авторы, как Плутарх и Цицерон, пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно. Существует предание, сообщённое Диогеном Лаэртским, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков.

Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около в 300 года до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.

Формулировки

Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты a {\displaystyle a}и b {\displaystyle b}, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе c {\displaystyle c}

Основная формулировка содержит алгебраические действия — в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} , а длина гипотенузы — c {\displaystyle c} , выполнено соотношение:

a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.

Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. В таком виде теорема сформулирована в Началах Евклида.

Обратная теорема Пифагора — утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} . Как следствие, для всякой тройки положительных чисел a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} и c {\displaystyle c} , такой, что a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} , существует прямоугольный треугольник с катетами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} и гипотенузой c {\displaystyle c} .

Доказательства

В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора, что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия), метод площадей, существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигуры. В нём для треугольника △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} с прямым углом при вершине C {\displaystyle C} со сторонами a , b , c {\displaystyle a,b,c} , противолежащими вершинам A , B , C {\displaystyle A,B,C} соответственно, проводится высота C H {\displaystyle CH} , при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: △ A B C ∼ △ A C H {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACH} и △ A B C ∼ △ C B H {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle CBH} , из чего непосредственно следуют соотношения:

a c = | H B | a {\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {|HB|}{a}}}; b c = | A H | b {\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {|AH|}{b}}}.

При перемножении крайних членов пропорций выводятся равенства:

a 2 = c ⋅ | H B | {\displaystyle a^{2}=c\cdot |HB|}; b 2 = c ⋅ | A H | {\displaystyle b^{2}=c\cdot |AH|},

покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:

a 2 + b 2 = c ⋅ ( | H B | + | A H | ) = c 2 ⇔ a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\cdot \left(|HB|+|AH|\right)=c^{2}\,\Leftrightarrow \,a^{2}+b^{2}=c^{2}}.

Доказательства методом площадей

Большое число доказательств задействуют понятие площади. Несмотря на видимую простоту многих из них, такие доказательства используют свойства площадей фигур, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость

Схема доказательства через равнодополняемость.

Доказательство через равнодополняемость использует четыре копии прямоугольного треугольника с катетами a , b {\displaystyle a,b} и гипотенузой c {\displaystyle c} , расположенные таким образом, чтобы образовывать квадрат со стороной a + b {\displaystyle a+b} и внутренний четырёхугольник со сторонами длиной c {\displaystyle c} . Внутренний четырёхугольник в этой конфигурации является квадратом, так как сумма двух противоположных прямому острых углов — 90°, а развёрнутый угол — 180°. Площадь внешнего квадрата равна ( a + b ) 2 {\displaystyle (a+b)^{2}} , он состоит из внутреннего квадрата площадью c 2 {\displaystyle c^{2}} и четырёх прямоугольных треугольников, каждый площадью a b 2 {\displaystyle {\frac {ab}{2}}} , в результате из соотношения ( a + b ) 2 = 4 ⋅ a b 2 + c 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=4\cdot {\frac {ab}{2}}+c^{2}} при алгебраическом преобразовании следует утверждение теоремы.

Доказательство Евклида

Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности △ A C K ≅ △ A B D {\displaystyle \triangle ACK\cong \triangle ABD}, площадь которых составляет половину площади прямоугольников A H J K {\displaystyle AHJK}и A C E D {\displaystyle ACED}соответственно.

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами.

Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} с прямым углом C {\displaystyle C} , квадратов над катетами A C E D {\displaystyle ACED} и B C F G {\displaystyle BCFG} и квадрата над гипотенузой A B I K {\displaystyle ABIK} строится высота C H {\displaystyle CH} и продолжающий её луч s {\displaystyle s} , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника A H J K {\displaystyle AHJK} и B H J I {\displaystyle BHJI} . Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника A H J K {\displaystyle AHJK} с квадратом над катетом A C {\displaystyle AC} ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника A H J K {\displaystyle AHJK} и A C E D {\displaystyle ACED} устанавливается через конгруэнтность треугольников △ A C K {\displaystyle \triangle ACK} и △ A B D {\displaystyle \triangle ABD} , площадь каждого из которых равна половине площади прямоугольников A H J K {\displaystyle AHJK} и A C E D {\displaystyle ACED} соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямого угла и угла при A {\displaystyle A} .

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников A H J K {\displaystyle AHJK} и B H J I {\displaystyle BHJI} , равна сумме площадей квадратов над катетами.

Доказательство Леонардо да Винчи

Чертёж к доказательству Леонардо да Винчи

К методу площадей относится также доказательство, найденное Леонардо да Винчи. Пусть дан прямоугольный треугольник △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} с прямым углом C {\displaystyle C} и квадраты A C E D {\displaystyle ACED} , B C F G {\displaystyle BCFG} и A B H J {\displaystyle ABHJ} (см. рисунок). В этом доказательстве на стороне H J {\displaystyle HJ} последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} , притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть J I = B C {\displaystyle JI=BC} и H I = A C {\displaystyle HI=AC} ). Прямая C I {\displaystyle CI} разбивает квадрат, построенный на гипотенузе на две равные части, поскольку треугольники △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} и △ J H I {\displaystyle \triangle JHI} равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников C A J I {\displaystyle CAJI} и D A B G {\displaystyle DABG} , площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны — половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.

Через площади подобных треугольников

Следующее доказательство основано на том, что площади подобных треугольников относятся как квадраты соответственных сторон.

Пусть A B C {\displaystyle ABC} есть прямоугольный треугольник, A D {\displaystyle AD} — перпендикуляр, опущенный на гипотенузу из вершины прямого угла. Треугольники A B C {\displaystyle ABC} , D B A {\displaystyle DBA} подобны, так как имеют по прямому углу и ещё общий угол B {\displaystyle B} . Значит

площадь D B A площадь A B C = A B 2 B C 2 . {\displaystyle {\frac {{\text{площадь}}~DBA}{{\text{площадь}}~ABC}}={\frac {AB^{2}}{BC^{2}}}.}

Точно также получаем, что

площадь D A C площадь A B C = A C 2 B C 2 . {\displaystyle {\frac {{\text{площадь}}~DAC}{{\text{площадь}}~ABC}}={\frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.}

Поскольку треугольники D B A {\displaystyle DBA} и D A C {\displaystyle DAC} вместе составляют △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} , сумма площадей △ D B A {\displaystyle \triangle DBA} и △ D A C {\displaystyle \triangle DAC} равна площади △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} . Отсюда

A B 2 + A C 2 B C 2 = 1 {\displaystyle {\frac {AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}}=1}

или A B 2 + A C 2 = B C 2 . {\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}.}

Доказательство методом бесконечно малых

Доказательство методом бесконечно малых

Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений. В частности, Харди приписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} и гипотенузы c {\displaystyle c} . Например, приращение катета d a {\displaystyle da} при постоянном катете b {\displaystyle b} приводит к приращению гипотенузы d c {\displaystyle dc} , так что

d a d c = c a {\displaystyle {\frac {da}{dc}}={\frac {c}{a}}}

Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение c d c = a d a {\displaystyle c\ dc=a\,da} , интегрирование которого даёт соотношение c 2 = a 2 + C o n s t {\displaystyle c^{2}=a^{2}+\mathrm {Const} } . Применение начальных условий a = 0 , c = b {\displaystyle a=0,c=b} определяет константу как b 2 {\displaystyle b^{2}} , что в результате даёт утверждение теоремы.

Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Вариации и обобщения

Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах

Обобщение для подобных треугольников, площадь зелёных фигур равны площади синей.Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников.

Важное геометрическое обобщение теоремы Пифагора дал Евклид в «Началах», перейдя от площадей квадратов на сторонах к площадям произвольных подобных геометрических фигур: сумма площадей таких фигур, построенных на катетах, будет равна площади подобной им фигуры, построенной на гипотенузе.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} и C {\displaystyle C} , построенных на катетах с длинами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} и гипотенузе c {\displaystyle c} соответственно, имеет место соотношение:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C {\displaystyle {\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,\Rightarrow \,A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C}.

Так как по теореме Пифагора a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} , то выполнено A + B = C {\displaystyle A+B=C} .

Кроме того, если возможно доказать без привлечения теоремы Пифагора, что для площадей трёх подобных геометрических фигур на сторонах прямоугольного треугольника выполнено соотношение A + B = C {\displaystyle A+B=C} , то с использованием обратного хода доказательства обобщения Евклида можно вывести доказательство теоремы Пифагора. Например, если на гипотенузе построить конгруэнтный начальному прямоугольный треугольник площадью C {\displaystyle C} , а на катетах — два подобных ему прямоугольных треугольника с площадями A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , то оказывается, что треугольники на катетах образуются в результате деления начального треугольника его высотой, то есть сумма двух меньших площадей треугольников равна площади третьего, таким образом A + B = C {\displaystyle A+B=C} и, применяя соотношение для подобных фигур, выводится теорема Пифагора.

Теорема косинусов

Основная статья: Теорема косинусов

Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2}},

где θ {\displaystyle \theta } — угол между сторонами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} . Если угол равен 90°, то cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle \cos \theta =0} , и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Произвольный треугольник

Обобщение, установленное Сабитом ибн Куррой. Нижний рисунок демонстрирует подобие треугольника △ D B A {\displaystyle \triangle DBA}, подобный треугольнику △ A B C {\displaystyle \triangle ABC}.

Существует обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник, оперирующее исключительно соотношением длин сторон. Считается, что оно впервые было установлено сабийским астрономом Сабитом ибн Куррой. В нём для произвольного треугольника со сторонами a , b , c {\displaystyle a,b,c} в него вписывается равнобедренный треугольник с основанием на стороне c {\displaystyle c} , вершиной, совпадающей с вершиной исходного треугольника, противолежащей стороне c {\displaystyle c} и углами при основании, равными углу θ {\displaystyle \theta } , противолежащему стороне c {\displaystyle c} . В результате образуются два треугольника, подобных исходному: первый — со сторонами a {\displaystyle a} , дальней от неё боковой стороной вписанного равнобедренного треугольника, и r {\displaystyle r} — части стороны c {\displaystyle c} ; второй — симметрично к нему от стороны b {\displaystyle b} со стороной s {\displaystyle s} — соответствующей частью стороны c {\displaystyle c} . В результате оказывается выполнено соотношение:

a 2 + b 2 = c ( r + s ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s)}

,

вырождающееся в теорему Пифагора при θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} . Соотношение является следствием подобия образованных треугольников:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 {\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{r}},\,{\frac {c}{b}}={\frac {b}{s}}\,\Rightarrow \,cr+cs=a^{2}+b^{2}}.

Теорема Паппа о площадях

Теорема Паппа о площадях, позволяющая для произвольного треугольника и произвольных параллелограммов на двух его сторонах построить параллелограмм на третьей стороне таким образом, чтобы его площадь была равна сумме площадей двух заданных параллелограммов, также может быть рассмотрена как обобщение теоремы Пифагора: в случае, когда исходный треугольник — прямоугольный, а на катетах в качестве параллелограммов заданы квадраты, квадрат, построенный на гипотенузе оказывается удовлетворяющим условиям теоремы Паппа о площадях.

Многомерные обобщения

Обобщением теоремы Пифагора для трёхмерного евклидова пространства является теорема де Гуа: если тетраэдр имеет прямой угол, то квадрат площади грани, лежащей напротив прямого угла, равен сумме квадратов площадей других трёх граней. Этот вывод может быть обобщён и как «n-мерная теорема Пифагора» для евклидовых пространств высших размерностей — для граней ортогонального n {\displaystyle n} -мерного симплекса с площадями S 1 , … , S n {\displaystyle S_{1},\dots ,S_{n}} ортогональных граней и противолежащей им грани площадью S 0 {\displaystyle S_{0}} выполнено соотношение:

S 0 2 = ∑ i = 1 n S i 2 {\displaystyle S_{0}^{2}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2}}.

Ещё одно многомерное обобщение возникает из задачи нахождения квадрата длины диагонали прямоугольного параллелепипеда: для её вычисления необходимо дважды применить теорему Пифагора, в результате она составит сумму квадратов длин трёх смежных сторон параллелепипеда. В общем случае, длина диагонали n {\displaystyle n} -мерного прямоугольного параллелепипеда со смежными сторонами с длинами a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} составляет:

d 2 = ∑ i = 1 n a i 2 {\displaystyle d^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}},

как и в трёхмерном случае, результат является следствием последовательного применения теоремы Пифагора к прямоугольным треугольникам в перпендикулярных плоскостях.

Обобщением теоремы Пифагора для бесконечномерного пространства является равенство Парсеваля.

Неевклидова геометрия

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и недействительна для неевклидовой геометрии — выполнение теоремы Пифагора равносильно постулату Евклида о параллельности.

В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника, которые ограничивают собой октант единичной сферы, имеют длину π / 2 {\displaystyle \pi /2} , что противоречит теореме Пифагора.

При этом теорема Пифагора справедлива в гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему.

Сферическая геометрия

Основная статья: Сферическая теорема Пифагора

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом R {\displaystyle R} (например, если угол γ {\displaystyle \gamma } в треугольнике прямой) со сторонами a , b , c {\displaystyle a,b,c} соотношение между сторонами имеет вид:

cos ⁡ ( c R ) = cos ⁡ ( a R ) ⋅ cos ⁡ ( b R ) {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cdot \cos \left({\frac {b}{R}}\right)}.

Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов, которая справедлива для всех сферических треугольников:

cos ⁡ ( c R ) = cos ⁡ ( a R ) ⋅ cos ⁡ ( b R ) + sin ⁡ ( a R ) ⋅ sin ⁡ ( b R ) ⋅ cos ⁡ γ {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cdot \cos \left({\frac {b}{R}}\right)+\sin \left({\frac {a}{R}}\right)\cdot \sin \left({\frac {b}{R}}\right)\cdot \cos \gamma }.

Применяя ряд Тейлора в функции косинуса ( cos ⁡ x ≈ 1 − x 2 2 {\displaystyle \cos x\approx 1-{\dfrac {x^{2}}{2}}} ) можно показать, что если радиус R {\displaystyle R} стремится к бесконечности, а аргументы a R {\displaystyle {\dfrac {a}{R}}} , b R {\displaystyle {\dfrac {b}{R}}} и c R {\displaystyle {\dfrac {c}{R}}} стремятся к нулю, то сферическое соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике приближается к теореме Пифагора.

Геометрия Лобачевского

В геометрии Лобачевского для прямоугольного треугольника со сторонами a , b , c {\displaystyle a,b,c} со стороной c {\displaystyle c} , противолежащей прямому углу, соотношение между сторонами будет следующим:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b {\displaystyle \operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\cdot \operatorname {ch} b},

где ch {\displaystyle \operatorname {ch} } — гиперболический косинус. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ {\displaystyle \operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\cdot \operatorname {ch} b-\operatorname {sh} a\cdot \operatorname {sh} b\cdot \cos \gamma },

где γ {\displaystyle \gamma } — угол, вершина которого противоположна стороне c {\displaystyle c} .

Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 2 {\displaystyle \operatorname {ch} x\approx 1+{\dfrac {x^{2}}{2}}} ) можно показать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} и c {\displaystyle c} стремятся к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к соотношению классической теоремы Пифагора.

Применение

Расстояние в двумерных прямоугольных системах

Важнейшее применение теоремы Пифагора — определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат: расстояние s {\displaystyle s} между точками с координатами ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} и ( c , d ) {\displaystyle (c,d)} равно:

s = ( a − c ) 2 + ( b − d ) 2 {\displaystyle s={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}}

.

Для комплексных чисел теорема Пифагора даёт естественную формулу для нахождения модуля комплексного числа — для z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} он равен длине радиус-вектора на комплексной плоскости к точке ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} :

| z | = x 2 + y 2 {\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.

Расстояние между комплексными числами z 1 = x 1 + y 1 i {\displaystyle z_{1}=x_{1}+y_{1}i} и z 2 = x 2 + y 2 i {\displaystyle z_{2}=x_{2}+y_{2}i} также представляется в форме теоремы Пифагора:

| z 1 − z 2 | = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 {\displaystyle |z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}.

Евклидова метрика

Евклидова метрика — функция расстояния в евклидовых пространствах, определяемая по теореме Пифагора, непосредственным её применением в двумерном случае, и последовательным в многомерном; для точек n {\displaystyle n} -мерного пространства p = ( p 1 , … , p n ) {\displaystyle p=(p_{1},\dots ,p_{n})} и q = ( q 1 , … , q n ) {\displaystyle q=(q_{1},\dots ,q_{n})} расстояние d ( p , q ) {\displaystyle d(p,q)} между ними определяется следующим образом:

d ( p , q ) = ∑ i = 1 n ( p i − q i ) 2 {\displaystyle d(p,q)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(p_{i}-q_{i})^{2}}}}}.

Теория чисел

Пифагорова тройка — набор из трёх натуральных чисел ( x , y , z ) {\displaystyle (x,\;y,\;z)} , которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, то есть натуральные числа, удовлетворяющие диофантову уравнению x 2 + y 2 = z 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}} . Пифагоровы тройки играют важную роль в теории чисел, задача их эффективного нахождения породила широкий пласт работ начиная с древнейших времён вплоть до современности. Формулировка Великой теоремы Ферма аналогична задаче нахождения пифагоровых троек для степени более 2.

> Примечания