Возврат ферми паста улама

Как определить неизвестное: метод Ферми для быстрой оценки чего угодно

Развить в себе умение измерять неизвестное — совсем не простое дело. К счастью, история знала немало личностей, продемонстрировавших такое поразительное умение. Один из них — лауреат Нобелевской премии по физике, который учил своих студентов измерять на примере оценки числа настройщиков пианино в Чикаго.
1. Как определить неизвестное
У физика Энрико Ферми (1901-1954), получившего в 1938 г. Нобелевскую премию, был настоящий талант к интуитивным измерениям, иногда казавшимся даже случайными. Как-то он продемонстрировал его при испытании атомной бомбы на полигоне Тринити 16 июля 1945 г., где вместе с другими учеными-атомщиками наблюдал за взрывной волной из базового лагеря.

Пока другие окончательно настраивали приборы для измерения мощности взрыва, Ферми разорвал на мелкие кусочки страничку из своего блокнота. Когда после взрыва подул сильный ветер, он подбросил эти кусочки в воздух и заметил, куда они упали (обрывки, улетевшие дальше всех, должны были показать пик давления волны). Ферми пришел к выводу, что мощность взрывной волны превысила 10 килотонн.
Эта информация оказалась очень важной, так как другим наблюдателям нижний предел данного параметра был неизвестен. После длительного анализа показаний приборов мощность взрывной волны была в конце концов оценена в 18,6 килотонн.
Ферми сумел определить требуемый показатель, проведя одно простое наблюдение — за рассеиванием обрывков бумаги по ветру.
Ферми славился тем, что учил студентов навыкам приблизительных расчетов самых фантастических величин, о которых те не могли иметь никакого представления. Самым известным примером такого «вопроса Ферми» является определение числа настройщиков пианино в Чикаго.
Студенты (будущие ученые и инженеры) начали с того, что у них нет для этого расчета никаких данных. Конечно, можно было просто пересчитать всех настройщиков, прочитав объявления, справившись в каком-нибудь агентстве, выдающем лицензии на такие услуги, и т. д. Но Ферми пытался научить своих студентов решать задачи и тогда, когда проверить результат будет не так просто. Ему хотелось, чтобы они поняли, что все-таки знают что-то об искомой величине.
Для начала Ферми попросил определить другие имеющие отношение к пианино и их настройщикам показатели — тоже неизвестные, но более легкие для оценки. Это были численность населения Чикаго (составлявшая в 1930-1950-х годах чуть более 3 млн. человек), среднее число человек в одной семье (два или три), процент семей, регулярно пользующихся услугами настройщиков пианино (максимально — каждая десятая, минимально — каждая тридцатая семья), требуемая частота настройки (в среднем, вероятно, не менее раза в год), число пианино, настраиваемых настройщиком за день (четыре или пять инструментов с учетом затрат времени на дорогу), а также число рабочих дней настройщика в году (скажем, 250).
Эти данные позволили рассчитать число настройщиков по следующей формуле:
Число настройщиков пианино в Чикаго =
= (Численность населения / Число членов одной семьи) х
х Процент семей, пользующихся услугами настройщиков х
х Число настроек в году /
/ (Число пианино, настраиваемых одним настройщиком за день х Число рабочих дней в году).
В зависимости от цифр, подставляемых в это уравнение, вы получите ответ в интервале 20-200; правильный ответ составлял примерно 50 человек. Когда эту цифру сравнивали с реальной (которую Ферми мог узнать из телефонного справочника), она всегда была ближе к реальной, чем думали студенты.
Полученный интервал значений выглядит слишком широким, но разве это не огромный шаг вперед по сравнению с позицией «неужели это вообще можно определить?», которую студенты занимали поначалу?
Данный подход позволял производившим расчеты людям понять, откуда берется неопределенность. Какие переменные характеризовались наибольшей неопределенностью — процент семей, регулярно пользующихся услугами настройщиков пианино, частота настроек, число инструментов, которые можно настроить за день, или что-то еще? Самый крупный источник неопределенности указывал на то, какие измерения позволят максимально снизить ее.
Поиск ответа на «вопрос Ферми» не предполагает проведения новых наблюдений и поэтому не может безоговорочно считаться измерением. Скорее, это оценка того, что вам уже известно о проблеме, способом, позволяющим несколько приблизиться к цели.
Вот еще один урок для бизнесмена — не считайте неопределенность неустранимой и не поддающейся анализу. Вместо того чтобы впадать в уныние по поводу своего незнания, спросите себя: а что же вы все-таки знаете о проблеме? Оценка имеющейся количественной информации о предмете — очень важный этап измерения явлений, которые выглядят неизмеряемыми.
2. «Вопросы Ферми» для нового предприятия
Чак Макей из компании Wizard of Ads всячески поощряет использовать «вопросы Ферми» для оценки размера своего рынка в том или ином районе. Недавно один страховой агент попросил Чака дать совет, стоит ли его компании открывать офис в Уичита-Фоллз (штат Техас), где до сих пор у нее не было представительства.
Будет ли на данном рынке спрос на услуги еще одного страховщика? Чтобы проверить реализуемость плана, Макей воспользовался методикой «вопросов Ферми» и начал с проблемы численности населения.
Согласно общедоступным статистическим данным, жители Уичита-Фоллз владели 62 172 автомашинами, а средняя годовая автомобильная страховая премия в штате Техас составляла 837,40 дол. Макей предположил, что почти все машины застрахованы, поскольку это обязательное требование.
Поэтому общая выручка от страхования составляла ежегодно 52 062 833 дол. Агент узнал, что средняя комиссионная ставка составляет 12%, так что все годовое комиссионное вознаграждение составляло 6 247 540 долл. В городе действовали 38 страховых агентств. Если разделить все комиссионное вознаграждение на 38 агентств, то окажется, что годовые комиссионные одного из них составляют в среднем 164 409 дол.
Рынок, по всей видимости, был уже достаточно насыщен, поскольку численность населения Уичита-Фоллз сократилась со 104 197 человек в 2000 г. до 99 846 человек в 2005 г. Кроме того, на данном рынке уже работало несколько крупных фирм, поэтому доходы нового агентства были бы еще меньше — и все это без учета накладных расходов.
Вывод Макея: скорее всего, новое агентство в этом городе вряд ли будет прибыльным, поэтому от плана следует отказаться.
3. Чему нас учит пример Ферми
Руководители часто говорят: «Ни о чем подобном мы не могли бы даже догадываться». Они заранее пасуют перед неопределенностью. Вместо того чтобы попытаться провести измерения, они бездействуют, обескураженные кажущейся невозможностью устранить ее. Ферми в подобном случае мог бы сказать: «Да, вы многого не знаете, но что-то же вы все-таки знаете?»
Иные менеджеры возражают: «Чтобы определить этот показатель, нужно потратить миллионы». В итоге они предпочитают не проводить и менее масштабные (с малыми затратами) исследования, потому что их погрешность обычно выше, чем у дорогих комплексных научных работ.
Между тем, даже небольшое снижение неопределенности может принести миллионы в зависимости от важности решения, принятию которого оно способствует, и от частоты принятия подобных решений.
«Вопросы Ферми» показали даже далеким от науки людям, как можно проводить измерения, кажущиеся на первый взгляд настолько сложными, что не стоит и пытаться ими заниматься. Обычно вещи, считающиеся в бизнесе неизмеряемыми, можно количественно определить с помощью простейших приемов наблюдения, как только люди поймут, что неизмеримость — всего лишь иллюзия.
С этой точки зрения ценность подхода Ферми состоит, прежде всего, в том, что оценка современного уровня наших знаний о предмете — необходимое условие последующих измерений.опубликовано econet.ru
Дaглaс У. Хaббapд (Douglas W. Hubbard)

Формулировка

Теорема утверждает, что для любого натурального числа n > 2 {\displaystyle n>2} уравнение:

a n + b n = c n {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}

не имеет решений в целых ненулевых числах a , b , c {\displaystyle a,b,c} .

Встречается более узкий вариант формулировки, утверждающий, что это уравнение не имеет натуральных решений. Однако очевидно, что если существует решение для целых чисел, то существует и решение в натуральных числах. В самом деле, пусть a , b , c {\displaystyle a,b,c} — целые числа, дающие решение уравнения Ферма. Если n {\displaystyle n} чётно, то | a | , | b | , | c | {\displaystyle |a|,|b|,|c|} тоже будут решением, а если нечётно, то перенесём все степени отрицательных значений в другую часть уравнения, изменив знак. Например, если бы существовало решение уравнения a 3 + b 3 = c 3 {\displaystyle a^{3}+b^{3}=c^{3}} и при этом a {\displaystyle a} отрицательно, а прочие положительны, то b 3 = c 3 + | a | 3 {\displaystyle b^{3}=c^{3}+|a|^{3}} , и получаем натуральные решения c , | a | , b . {\displaystyle c,|a|,b.} Поэтому обе формулировки эквивалентны.

Обобщениями утверждения теоремы Ферма являются опровергнутая гипотеза Эйлера и открытая гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа.

История

Для случая n = 3 {\displaystyle n=3} эту теорему в X веке пытался доказать ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Оригинальный текст (лат.) Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.Доказательство самого Ферма для случая n = 4 {\displaystyle n=4}в 45-м комментарии к «Арифметике» Диофанта

Ферма приводит только доказательство, как решение задачи, сводимой к четвёртой степени теоремы n = 4 {\displaystyle n=4} , в 45-м комментарии к «Арифметике» Диофанта и в письме к Каркави (август 1659 года). Кроме этого, Ферма включил случай n = 3 {\displaystyle n=3} в список задач, решаемых методом бесконечного спуска.

Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n = 3 {\displaystyle n=3} , Дирихле и Лежандр в 1825 — для n = 5 {\displaystyle n=5} , Ламе — для n = 7 {\displaystyle n=7} . Куммер показал, что теорема верна для всех простых n {\displaystyle n} , меньших 100, за возможным исключением так называемых иррегулярных простых 37, 59, 67.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Тем не менее эти усилия привели к получению многих важных результатов современной теории чисел. Давид Гильберт в своём докладе «Математические проблемы» на II Международном конгрессе математиков (1900) отметил, что поиск доказательства для этой, казалось бы, малозначимой теоремы привёл к глубоким результатам в теории чисел. В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 тыс. немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Однако после Первой мировой войны премия обесценилась.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение a n + b n = c n {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} при n > 3 {\displaystyle n>3} может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Немецкий математик Герхард Фрай предположил, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры. Это предположение было доказано Кеном Рибетом.

Последний важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics».

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после семи лет работы), но в нём вскоре был обнаружен серьёзный пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить. В 1995 году был опубликован завершающий вариант. В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию.

Колин Мак-Ларти отметил, что, возможно, доказательство Уайлса удастся упростить, чтобы не предполагать существования так называемых «больших кардиналов».

Теорема Ферма также тривиально следует из abc-гипотезы, о доказательстве которой заявил японский математик Синъити Мотидзуки; его доказательство отличается исключительной сложностью. В настоящее время в математическом сообществе нет ясного консенсуса в отношении его работ.

«Ферматисты»

Авторское свидетельство, выданное Министерством образования и науки Украины Г. А. Середкину и Л. В. Шаповаловой на работу с «доказательством» теоремы Ферма

Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику), а также сложность единственного известного доказательства (или неведение о его существовании), вдохновляют многих на попытки найти другое, более простое, доказательство. Людей, пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами» или «ферматиками». Ферматисты зачастую не являются профессионалами и допускают ошибки в арифметических действиях или логических выводах, хотя некоторые представляют весьма изощрённые «доказательства», в которых трудно найти ошибку.

Доказывать теорему Ферма в среде любителей математики было настолько популярно, что в 1972 году журнал «Квант», публикуя статью о теореме Ферма, сопроводил её следующей припиской: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».

Немецкому математику Эдмунду Ландау очень докучали «ферматисты». Чтобы не отвлекаться от основной работы, он заказал несколько сот бланков с шаблонным текстом, сообщающим, что на определённой строке на некоторой странице находится ошибка, при этом находить ошибку и заполнять пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.

Примечательно, что отдельные ферматисты добиваются публикации своих (неверных) «доказательств» в ненаучной прессе, которая раздувает их значение до научной сенсации. Впрочем, иногда такие публикации появляются и в уважаемых научных изданиях, как правило, с последующими опровержениями. Среди других примеров:

  • Брошюра В. И. Будкина, изданная в Ярославле под названием «Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма» (47 с., 5000 экз., Верхне-Волжское книжное издательство, 1975).
  • Книга Л. Ш. Райхеля «Великая теорема», изданная в Ленинграде в 1990 году.
  • Свидетельство о регистрации авторских прав на произведение «доказательство теоремы Ферма», выданное Министерством образования и науки Украины Л. В. Шаповаловой и Г. А. Середкину. Документ не удостоверяет каким-либо образом правильность доказательства, а лишь регистрирует авторские права на поданный в Министерство образования и науки печатный труд; на это министерство возложена обязанность ведения реестра таких свидетельств.

Теорема Ферма в культуре и искусстве

Почтовая марка Чехии 2000 года ко Всемирному году математики, посвящённая теореме

Великая теорема Ферма стала символом труднейшей научной проблемы и в этом качестве часто упоминается в беллетристике. Далее перечислены некоторые произведения, в которых теорема не просто упомянута, но является существенной частью сюжета или идеологии произведения.

  • В рассказе Артура Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол» профессор Саймон Флегг обращается за доказательством теоремы к дьяволу. По этому рассказу снят игровой научно-популярный фильм «Математик и чёрт» (СССР, 1972, производство Центрнаучфильм, творческое объединение «Радуга», режиссёр Райтбурт).
    • Экранизация: короткометражка «Математик и чёрт» (1972).
  • А. П. Казанцев в романе «Острее шпаги» в 1983 году предложил оригинальную версию отсутствия доказательства самого Пьера Ферма.
  • В телесериале «Звёздный Путь» капитан космического корабля Жан-Люк Пикар был озадачен разгадкой Великой теоремы Ферма во второй половине XXIV века. Таким образом, создатели фильма предполагали, что решения у Великой теоремы Ферма не будет в ближайшие 400 лет. Серия «Рояль» с этим эпизодом была снята в 1989 году, когда Эндрю Уайлс был в самом начале своих работ. В действительности решение было найдено всего спустя пять лет.
  • В посвящённой Хэллоуину 1995 года серии «Симпсонов» двумерный Гомер Симпсон случайно попадает в третье измерение. Во время его путешествия в этом странном мире в воздухе парят геометрические тела и математические формулы, включая неверное равенство 1782 12 + 1841 12 = 1922 12 {\displaystyle 1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}} . Калькулятор с точностью не более 10 значащих цифр подтверждает это равенство: 1782 12 + 1841 12 = 2 541 210 258 614 589 176 288 669 958 142 428 526 657 ≈ 2,541 210 259 ⋅ 10 39 , 1922 12 = 2 541 210 259 314 801 410 819 278 649 643 651 567 616 ≈ 2,541 210 259 ⋅ 10 39 . {\displaystyle {\begin{array}{cl}1782^{12}+1841^{12}&=2\,541\,210\,258\,614\,589\,176\,288\,669\,958\,142\,428\,526\,657\approx 2{,}541\,210\,259\cdot 10^{39},\\1922^{12}&=2\,541\,210\,259\,314\,801\,410\,819\,278\,649\,643\,651\,567\,616\approx 2{,}541\,210\,259\cdot 10^{39}.\end{array}}}

Тем не менее, даже без вычисления точных значений легко видеть, что равенство неверно: левая часть — нечётное число, а правая часть — чётное.

  • В первом издании «Искусства программирования» Дональда Кнута теорема Ферма приведена в качестве упражнения с математическим уклоном в самом начале книги и оценена максимальным числом (50) баллов, как «исследовательская проблема, которая (насколько это было известно автору в момент написания) ещё не получила удовлетворительного решения. Если читатель найдет решение этой задачи, его настоятельно просят опубликовать его; кроме того, автор данной книги будет очень признателен, если ему сообщат решение как можно быстрее (при условии, что оно правильно)». В третьем издании книги это упражнение уже требует знаний высшей математики и оценивается лишь в 45 баллов.
  • В книге Стига Ларссона «Девушка, которая играла с огнём» главная героиня Лисбет Саландер, обладающая редкими способностями к аналитике и фотографической памятью, в качестве хобби занята доказательством Великой теоремы Ферма, на которую она наткнулась, читая фундаментальный труд «Измерения в математике», в котором приводится и доказательство Эндрю Уайлса. Лисбет не хочет изучать готовое доказательство, а главным интересом становится поиск собственного решения. Поэтому всё своё свободное время она посвящает самостоятельному поиску «замечательного доказательства» теоремы великого француза, но раз за разом заходит в тупик. В конце книги Лисбет находит доказательство, которое не только совершенно отлично от предложенного Уайлсом, но и является настолько простым, что сам Ферма мог бы его найти. Однако после ранения в голову она его забывает, и Ларссон не приводит никаких подробностей этого доказательства.
  • Мюзикл «Последнее танго Ферма», изданный институтом Клэя, создан в 2000 году Джошуа Розенблюмом (англ. Joshua Rosenblum) и Джоан Лесснер по мотивам реальной истории Эндрю Уайлса. Главный герой по имени Дэниел Кин завершает доказательство теоремы, а дух самого Ферма старается ему помешать.
  • За несколько дней до своей смерти Артур Кларк успел отрецензировать рукопись романа «Последняя Теорема», над которой он трудился в соавторстве с Фредериком Полом. Книга вышла уже после смерти Кларка.

Примечания

  1. Ферма теорема // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
  2. Diophantus of Alexandria. Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus. Cum commentariis C.G. Bacheti V.C. & observationibus D.P. de Fermat senatoris Tolosani. Toulouse, 1670, pp. 338—339.
  3. 1 2 Fermat a Carcavi. Aout 1659. Oeuvres de Fermat. Tome II. Paris: Tannery & Henry, 1904, pp. 431—436.
  4. Ю. Ю. Мачис. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Математические заметки. — 2007. — Т. 82, № 3. — С. 395—400. Английский перевод: J. J. Mačys (2007). “On Euler’s hypothetical proof”. Mathematical Notes. 82 (3—4): 352—356. DOI:10.1134/S0001434607090088. MR: 2364600.
  5. Давид Гильберт. Математические проблемы:

    Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побуждённый задачей Ферма, Куммер пришёл к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.

  6. Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Соросовский образовательный журнал. — ISSEP, 1998. — Т. 4, № 2. — С. 135–138.
  7. Wiles, Andrew (1995). “Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem” (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443—551. (англ.)
  8. Taylor, Richard & Wiles, Andrew (1995). “Ring theoretic properties of certain Hecke algebras”. Annals of Mathematics. 141 (3): 553—572. Архивировано из оригинала 2001-11-27. Дата обращения 2004-10-31. Архивная копия от 27 ноября 2001 на Wayback Machine (англ.)
  9. Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 199—200.
  10. Абелевскую премию получит британец, доказавший Великую теорему Ферма
  11. Colin McLarty. What does it take to prove Fermat’s last theorem? Grothendieck and the logic of number theory // Bulletin of Symbolic Logic. — 2010. — Т. 16, № 3. — С. 359—377.
  12. Fermat’s Last Theorem and more can be proved more simply
  13. David Michael Roberts. A Crisis of Identification // Inference. — 2019. — Vol. 4, no. 3.
  14. Наварро, Хоакин. Неуловимые идеи и вечные теоремы. Великие задачи математики. — М.: Де Агостини, 2014. — С. 84. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 25). — ISBN 978-5-9774-0720-5.
  15. 1 2 Гастев Ю., Смолянский М. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант. — 1972. — Т. 8. — С. 23—25.
  16. Теоремой — по ракетам!
  17. Человечество может расслабиться?
  18. Человечество может расслабиться. Сайт Российской академии наук.
  19. Теорема Ферма доказала, что попытки доказать её не прекратятся никогда. Сайт Российской академии наук.
  20. Пионеры.
  21. Лазарь Шлемович Райхель. Великая теорема: (Повесть) / Л. Райхель — Л.: Б. м. Б. и. 252 с., 1990 (обл. 1991)
  22. Постановление Кабинета министров Украины от 27.12.2001 г. N 1756 «О государственной регистрации авторского права…».
  23. A. Porges (1954). “Devil and Simon Flagg”. The Magazine of Fantasy and Science Fiction. NY.. Русский перевод: Порджес А. Саймон Флэгг и дьявол // Квант. — 1972. — Т. 8. — С. 17—22. ()
  24. Игровой научно-популярный фильм «Математик и чёрт» (СССР, 1972 режиссёр Райтбурт). (альтернативная ссылка: )
  25. В 2010 году книга вышла на русском языке в издательстве «Эксмо», в оригинале название «Flickan som lekte med elden», в английском переводе «The girl who played with fire».
  26. Fermat’s Last Tango