Цифры древнего Египта

В результате упрощений и стилизаций от иероглифов позднее произошли условные знаки, облегчающие письмо от руки. Они легли в основу так называемого иератического письма (от греч. «иератикос» — «священный»). Эту систему записи чисел можно обнаружить в более поздних египетских папирусах.
Сохранились два математических папируса, позволяющих судить о том, как считали древние египтяне. Один из них — папирус Райна хранится в Британском музее в Лондоне, а другой названный Московским — в музее изобразительных искусств им. А.С. Пушкина в Москве.
Оказывается умножение и деление, древние египтяне производили путем последовательного удвоения чисел. Пусть, например надо умножить 19 на 37. Египтяне последовательно удваивали число 37, причем в правом столбце записывали результаты удвоения, а в левом соответствующие степени двойки:

Удвоение продолжалось до тех пор, пока не оказывалось, что из чисел левого столбца можно составить множитель (в нашем примере 19=1+2+16). Египтяне отмечали соответствующие строки вертикальными черточками и складывали те числа, которые стоят в этих же строках справа. В данном случае надо сложить 37+74+592=703. Так получали произведение. Если теперь число 703 нужно было разделить на 19, то египтяне начинали последовательно удваивать делитель и продолжал и это до тех пор, пока числа правого столбца, оставались меньше 703. Затем из чисел правого столбца они пытались составить делимое, и тогда сумма чисел в левом столбце давала частное:


В данном случае 703=608+76+19, то есть частное будет 1+4+32=37. Если бы делимое не делилось без остатка на делитель, то его не удалось бы составить из чисел правого столбца. Получились бы и частное и остаток.

Математика

Благодаря тому, что ученым-археологам, проводящим раскопки на территории Древнего Египта, удалось обнаружить в хорошей сохранности два очень важных для науки документа — папирус Ринда, названный по имени человека, его нашедшего, и московский папирус, получившей свое название по месту своего нынешнего нахождения, — мы сейчас обладаем определенной (пусть небольшой, но вполне емкой) информацией о том, что представляла собой древнеегипетская математика.

Древние Египтяне широко использовали математику в различных областях жизни

В обоих папирусах, датированных приблизительно 2000 г. до н.э., содержатся задачи (в папирусе Ринда — 84, в математическом — 25), для решения которых необходимо, используя сложение, вычитание, деление, которое, исходя из полученных сведений, представляло особенную сложность для древних египтян, и умножение, вычислять объем пирамиды с квадратным основанием, цилиндра, параллелепипеда, подсчитывать площади круга, треугольника, прямоугольника, трапеции, а также полуцилиндра, решать уравнения с неизвестными и т.д. Все это предполагает, что древние египтяне владели десятичной иероглифической системой счисления, благодаря которой могли беспрепятственно производить различные операции, связанные с целыми числами и дробями. Надо заметить, что все задачи древних сборников имеют не отвлеченный, а исключительно практический характер, связанный со строительством, землемерием и т.д., и не содержат объяснений или доказательств того, каким именно образом был получен тот или иной результат задачи.

Математические знания, сделавшие египтян — ни много ни мало — учителями великих древнегреческих математиков, широко применялись в различных жизненных областях: с их помощью строились военные укрепления, плотины, каналы, различные здания, размежевывались земли, было возможно развитие мореплавания и астрономии и т.д. Потребность в счете у древних египтян была настолько велика, что ими, в отличие от многих других древних народов, помимо простейших черточек для чисел до десяти, были придуманы семь специальных иероглифов для обозначения цифр: 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000.

Древними египтянами была разработана особенная система, включающая в себя меры длины (локоть (приблизительно 0,52 м), ладонь (около 0,07 м), палец (около 0,01 м), прут (чуть больше 52 м), речная мера (около 10,5 м)), массы (дебен (приблизительно 91 г), кедет (9,1 г), печать (около 7,6 г)), площади (сечат (около 2735 кв.м.), локоть (приблизительно 27,35 кв.м.), ха-та (около 27350 кв.м.)) и объема (хекат (около 454 л), хар (приблизительно 1816 л), хену (около 5 л)).

Для записи дробей (основных, т.е. полученных делением единицы на целое число, а также 2/3 и 3/4) древними египтянами были придуманы специальные обозначения, остальные же, не мудрствуя лукаво, раскладывались на сумму основных дробей и заносились в громоздкие вспомогательные математические таблицы, которыми в дальнейшем можно было бы воспользоваться. Древнеегипетское умножение заключалось в сочетании удвоений и сложений, а деление — как процесс, обратный умножению — в подборе делителя.

В Древнем Египте сложение и вычитание обозначались одним и тем же значком, за исключением небольшого нюанса: если ножки на иероглифе «шли» в том же направлении, в каком записывался пример, то в этом случае, речь шла о сложении, если же в противоположном — о вычитании.

Математика в Древнем Египте

Данная статья — часть обзора История математики.

Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э.

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно, что греческие математики учились у египтян.

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

Часть папируса Ахмеса.
Задачи с 49 по 55.

Основные сохранившиеся источники относятся к периоду Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры:

  • Папирус Ахмеса или папирус Ринда — наиболее объёмный манускрипт, содержащий 84 математические задачи. Написан около 1650 г. до н. э.
  • Московский математический папирус (25 задач), около 1850 г. до н. э., 544 × 8 см.
  • Так называемый «кожаный свиток», 25 × 43 см.
  • Папирусы из Лахуна (Кахуна) (англ.), содержащие ряд фрагментов на математические темы.
  • Берлинский папирус (англ.), около 1300 года до н. э.
  • Каирские деревянные таблички (таблички Ахмима).
  • Папирус Рейснера (англ.), примерно XIX век до н. э.

От Нового царства до нас дошли несколько фрагментов вычислительного характера.

Авторы всех этих текстов нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры — это в основном копии, переписанные в период гиксосов. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни (целочисленные) и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

Нумерация (запись чисел)

Иероглифическая запись числа 35736

Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч.

Любое число в Древнем Египте можно было записать двумя способами: словами и цифрами. Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные иероглифы:


или то же самое написать цифрами (три символа десятки):

Иероглифы для изображения чисел

1 10 100 1000 10,000 100,000 1,000,000

Плита с гробницы принцессы Неферетиабет (2590—2565 до н. э., Гиза). Лувр

Умножение египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению.

Особые значки обозначали дроби вида 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} и 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} . Однако общего понятия дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

Примеры изображения часто встречающихся дробей

1 / 2 {\displaystyle 1/2} 1 / 3 {\displaystyle 1/3} 2 / 3 {\displaystyle 2/3} 1 / 4 {\displaystyle 1/4} 1 / 5 {\displaystyle 1/5}




Пример записи дробей из Папируса Ринда





5 + 1⁄2 + 1⁄7 + 1⁄14 (= 5 5⁄7)

Арифметика

Знаки сложения и вычитания

Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф

или

Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание».

Сложение

Если при сложении получается число большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом.

Например: 2343 + 1671





+



Собираем все однотипные иероглифы вместе и получаем:




Преобразуем:



Окончательный результат выглядит вот так:



Умножение

Основная статья: Умножение в Древнем Египте (англ.)русск.

Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать.

Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное переумножение на второй множитель

Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдалённых регионах.

Разложение

Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:

1 x 2 = 2

2 x 2 = 4

4 x 2 = 8

8 x 2 = 16

16 x 2 = 32

Пример разложения числа 25:

  • Кратный множитель для числа «25» — это 16.
  • 25 — 16 = 9,
  • Кратный множитель для числа «9» — это 8,
  • 9 — 8 = 1,
  • Кратный множитель для числа «1» — это 1,
  • 1 — 1 = 0

Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.

Пример: умножим «13» на «238»:

1 х 238 = 238
4 х 238 = 952
8 х 238 = 1904
13 х 238 = 3094

Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

Древние египтяне отличали деление на два от деления на другие числа, поскольку их алгоритм умножения использовал деление на два как один из промежуточных этапов.

Уравнения

Иероглифическая запись уравнения x ( 2 3 + 1 2 + 1 7 + 1 ) = 37 {\displaystyle x\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+1\right)=37}

Пример задачи из папируса Ахмеса:

Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания из результата его трети получается 10.

Геометрия

Вычисление площадей

В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как S = a + c 2 ⋅ b + d 2 {\displaystyle S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}} ; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику.

Египтяне предполагали, что площадь круга S диаметром d равна площади квадрата, сторона которого составляет 8/9 диаметра: S = ( d − d 9 ) 2 = ( 8 9 d ) 2 . {\displaystyle S=\left(d-{\frac {d}{9}}\right)^{2}=\left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}.} Это правило соответствует приближению π ≈ 4 ⋅ ( 8 9 ) 2 {\displaystyle \pi \approx 4\cdot \left({\frac {8}{9}}\right)^{2}} ≈ 3,1605 (погрешность менее 1 %)..

Некоторые исследователи на основании 10-й задачи Московского математического папируса считали, что египтяне знали точную формулу для вычисления площади сферы, однако другие учёные с этим не согласны.

Вычисление объёмов

Реконструкция водяных часов по чертежам из Оксиринха

Египтяне могли высчитывать объёмы параллелепипеда, цилиндра, конуса и пирамид. Для вычисления объёма усечённой пирамиды египтяне пользовались следующим правилом (Задача № M14 Московского математического папируса): пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по следующей (правильной) формуле:

V = ( a 2 + a b + b 2 ) ⋅ h 3 . {\displaystyle V=(a^{2}+ab+b^{2})\cdot {\frac {h}{3}}.}

Древний свиток папируса, найденный в Оксиринхе, свидетельствует, что египтяне могли вычислять также объём усечённого конуса. Эти знания ими использовались для сооружения водяных часов. Так, например, известно, что при Аменхотепе III были построены водяные часы в Карнаке.

Египетский треугольник

Основная статья: Египетский треугольник

Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Плутарх в первом веке об этом треугольнике в сочинении «Об Исиде и Осирисе» писал: «видимо, египтяне сравнивают природу Всеобщности с красивейшим из треугольников». Возможно, именно из-за этого этот треугольник получил название египетского. Действительно, греческие учёные сообщали, что в Египте для построения прямого угла использовалась верёвка, разделённая на 12 частей.

Египетский треугольник активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами, например, при построении пирамид. Историк Ван дер Варден попытался поставить этот факт под сомнение, однако более поздние исследования его подтвердили. В любом случае, нет никаких свидетельств, что в Древнем Египте была известна теорема Пифагора в общем случае (в отличие от Древнего Вавилона).

> См. также

  • Папирус Ахмеса (Ринда)
  • Московский математический папирус
  • Египетская система счисления
  • Египетские дроби

Примечания

  1. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Указ. соч., стр. 125: «Фалес путешествовал в Египет и привёз геометрию в Элладу» (из комментария Прокла к Евклиду).
  2. «Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, и возникла при измерении площадей» // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum commentarii. — Leipzig, 1873. — С. 64.
  3. История математики, том I, 1970, с. 21—33..
  4. История математики, том I, 1970, с. 24..
  5. Gardiner Alan H. Egyptian grammar: being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed., rev. London: 1957, p. 197.
  6. Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. — Dover Publications, 1993. — P. pp. 229–230. — ISBN 0486677664.
  7. Jean-Luc Chabert. A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. — Springer Berlin Heidelberg, 1999. — 524 с. — ISBN 9783540633693.
  8. История математики, том I, 1970, с. 30—32..
  9. W. W. Struve. Mathematischer Papyrus des Museum in Moskau. — Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung A. — Berlin: Springer, 1930. — С. 157.
  10. История математики, том I, 1970, с. 31—32..
  11. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции, стр. 44-45
  12. Прасолов В. В. Глава 1. Древний Египет и Вавилон // История математики. — (не публиковалась), 2013. — С. 5.
  13. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматлит, 1959, С. 13, подстрочное примечание
  14. История математики, том I, 1970, с. 31..

Литература

  • Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — 456 с.
  • Веселовский И. Н. Египетская наука и Греция. Труды ИИЕ, 2, 1948, с. 426—498.
  • Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М.: Наука, 1967.
  • Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с.
  • История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
  • Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук. — Москва-Ленинград, 1937.
  • Раик А. Е. Две лекции о египетской и вавилонской математике // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 271-320.
  • Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск: Мордовское гос. изд-во, 1977.
  • Gillings R. J. Mathematics in the time of the pharaohs. Cambridge: MIT Press, 1972.
  • Rossi C. Architecture and mathematics in Ancient Egypt. Cambridge (UK): Cambridge UP, 2004.
  • Vogel K. Vorgriechische Mathematik I, Vorgeschichte und Ägypten. Hannover: Schrödel, 1958.

> Ссылки

  • Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.