Решето эратосфена до 100

Решето Эратосфена

Решето Эратосфена — алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа N, который приписывают древнегреческому математику Эратосфену Киренскому. Название алгоритма говорит о принципе его работы, то есть решето подразумевает фильтрацию, в данном случае фильтрацию всех чисел за исключением простых. По мере обработки массива чисел нужные числа (простые) остаются, а ненужные (составные) исключаются.

Сама проблема получения простых чисел занимает ключевое место в математике, на ней основаны некоторые криптографические алгоритмы, например RSA.

Для нахождения всех простых чисел не больше заданного числа N нужно выполнить следующие шаги:

  • Заполнить массив из N элементов целыми числами подряд от 2 до N.
  • Присвоить переменной p значение 2 (первого простого числа).
  • Удалить из массива числа от p2 до N с шагом p (это будут числа кратные p: p2, p2+p, p2+2p и т. д.).
  • Найти первое неудаленное число в массиве, большее p, и присвоить значению переменной p это число.
  • Повторять два предыдущих шага пока это возможно.

Все оставшиеся в массиве числа являются простыми числами от 2 до N

На рисунке проиллюстрирован алгоритм поиска простых чисел. Числа, отмеченные белым, являются удаленными.

Реализация на C++

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

Решето́ Эратосфе́на — алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа n, который приписывают древнегреческому математику Эратосфену Киренскому. Как и во многих случаях, здесь название алгоритма говорит о принципе его работы, то есть решето подразумевает фильтрацию, в данном случае фильтрацию всех чисел за исключением простых. По мере прохождения списка нужные числа остаются, а ненужные (они называются составными) исключаются.

Сложность алгоритма

Сложность алгоритма составляет O ( n log ⁡ ( log ⁡ n ) ) {\displaystyle O(n\log(\log n))} операций при составлении таблицы простых чисел до n {\displaystyle n} .

Доказательство сложности

При выбранном n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } для каждого простого p ∈ P : p ≤ n {\displaystyle p\in \mathbb {P} \colon p\leq n} будет выполняться внутренний цикл, который совершит n p {\displaystyle {\frac {n}{p}}} действий. Сложность алгоритма можно получить из оценки следующей величины:

Так как количество простых чисел, меньших либо равных n {\displaystyle n} , оценивается как n ln ⁡ n {\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}} , и, как следствие, k {\displaystyle k} -е простое число примерно равно k ln ⁡ k {\displaystyle k\ln k} , то сумму можно преобразовать:

Здесь из суммы выделено слагаемое для первого простого числа, чтобы избежать деления на нуль. Данную сумму можно оценить интегралом

В итоге получается для изначальной суммы:

∑ p ∈ P : p ≤ n n p ≈ n ln ⁡ ln ⁡ n + o ( n ) {\displaystyle \sum \limits _{p\in \mathbb {P} \colon p\leq n}{\frac {n}{p}}\approx n\ln \ln n+o(n)}

Более строгое доказательство (и дающее более точную оценку с точностью до константных множителей) можно найти в книге Hardy и Wright «An Introduction to the Theory of Numbers».

Модификации метода

Неограниченный, постепенный вариант

В этом варианте простые числа вычисляются последовательно, без ограничения сверху, как числа находящиеся в промежутках между составными числами, которые вычисляются для каждого простого числа p, начиная с его квадрата, с шагом в p (или для нечетных простых чисел 2p). Может быть представлен символически в парадигме потоков данных как

primes = \ for p in primes]

используя нотацию абстракции списков, где \ обозначает разницу между арифметическими прогрессиями.

Первое простое число 2 (среди возрастающих положительных целых чисел) заранее известно, поэтому в этом самореферентном определении нет порочного круга.

Псевдокод поэтапного отсеивания, в неэффективной, для простоты, реализации (ср. с нижеследующими вариантами):

primes = sieve where sieve = )]

Перебор делителей

Решето Эратосфена часто путают с алгоритмами, которые поэтапно отфильтровывают составные числа, тестируя каждое из чисел-кандидатов на делимость используя по одному простому числу на каждом этапе.

Широко известный функциональный код Дэвида Тёрнера 1975 г. часто принимают за решето Эратосфена, но на самом деле это неоптимальный вариант с перебором делителей (в оптимальном варианте не используются делители, большие квадратного корня тестируемого числа). В псевдокоде,

primes = sieve where sieve = ]

Сегментированное решето

Как отмечает Соренсон, главной проблемой реализации решета Эратосфена на вычислительных машинах является не количество выполняемых операций, а требования по объёму занимаемой памяти. При больших значениях n, диапазон простых чисел может превысить доступную память; хуже того, даже при сравнительно небольших n использование кэша памяти далеко от оптимального, так как алгоритм, проходя по всему массиву, нарушает принцип локализованности ссылок.

Для решения представленной проблемы используется сегментированное решето, в котором за итерацию просеивается только часть диапазона простых чисел. Данный метод известен с 1970-х годов и работает следующим образом:

  1. Разделяем диапазон от 2 до n на отрезки (сегменты) некоторой длины Δ ≤ √n.
  2. Находим все простые числа в первом отрезке, используя обычное решето.
  3. Каждый из последующих отрезков оканчивается на некотором числе m. Находим все простые числа в отрезке следующим образом:
    1. Создаем булевый массив размера Δ
    2. Для каждого простого числа p ≤ √m из уже найденных, отмечаем в массиве как «непростые» все числа кратные p, перебирая числа с шагом в p, начиная с наименьшего кратного p числа в данном отрезке.

Если число Δ выбрано равным √n, то сложность алгоритма по памяти оценивается как O(√n), а операционная сложность остаётся такой же, что и у обычного решета Эратосфена.

Для случаев, когда n настолько велико, что все просеиваемые простые числа меньшие √n не могут уместиться в памяти, как того требует алгоритм сегментированного сита, используют более медленные, но с гораздо меньшими требованиями по памяти алгоритмы, например решето Соренсона.

Решето Эйлера

Доказательство тождества Эйлера для дзета-функции Римана содержит механизм отсеивания составных чисел подобный решету Эратосфена, но так, что каждое составное число удаляется из списка только один раз. Схожее решето описано в Gries & Misra 1978 г. как решето с линейным временем работы (см. ниже).

Составляется исходный список начиная с числа 2. На каждом этапе алгоритма первый номер в списке берется как следующее простое число, результаты произведения которого на каждое число в списке помечаются для последующего удаления. После этого из списка убирают первое число и все помеченные числа, и процесс повторяется вновь:

(3) 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 … (5) 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59 61 65 67 71 73 77 79 … (7) 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 … (11) 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 …

Здесь показан пример начиная с нечетных чисел, после первого этапа алгоритма. Таким образом, после k-го этапа рабочий список содержит только числа взаимно простые с первыми k простыми числами (то есть числа не кратные ни одному из первых k простых чисел), и начинается с (k+1)-го простого числа. Все числа в списке, меньшие квадрата его первого числа, являются простыми.

В псевдокоде,

primes = sieve where sieve = ])]

Решето только по нечётным числам

Поскольку все чётные числа, кроме 2, — составные, то можно вообще не обрабатывать никак чётные числа, а оперировать только нечётными числами. Во-первых, это позволит вдвое сократить объём требуемой памяти. Во-вторых, это уменьшит количество выполняемых алгоритмом операций (примерно вдвое).

Это можно обобщить на числа взаимно простые не только с 2 (то есть нечетные числа), но и с 3, 5, и т. д.

Уменьшение объёма потребляемой памяти

Алгоритм Эратосфена фактически оперирует с n {\displaystyle n} битами памяти. Следовательно, можно существенно сэкономить потребление памяти, храня n {\displaystyle n} переменных булевского типа не как n {\displaystyle n} байт, а как n {\displaystyle n} бит, то есть n / 8 {\displaystyle n/8} байт памяти.

Такой подход — «битовое сжатие» — усложняет оперирование этими битами. Любое чтение или запись бита будут представлять собой несколько арифметических операций. Но с другой стороны существенно улучшается компактность в памяти. Бо́льшие интервалы умещаются в кэш-память которая работает гораздо быстрее обычной так что при работе по-сегментно общая скорость увеличивается.

Решето Эратосфена с линейным временем работы

Этот алгоритм обнаруживает для каждого числа i в отрезке его минимальный простой делитель lp (lp от англ. least prime).

Также поддерживается список всех простых чисел — массив pr, поначалу пустой. В ходе работы алгоритма этот массив будет постепенно заполняться.

Изначально все величины lp заполним нулями.

Дальше следует перебрать текущее число i от 2 до n. Здесь может быть два случая:

  • lp = 0: это означает, что число i — простое, так как для него так и не обнаружилось других делителей.

Следовательно, надо присвоить lp = i и добавить i в конец списка pr.

  • lp ≠ 0: это означает, что текущее число i — составное, и его минимальным простым делителем является lp.

В обоих случаях дальше начинается процесс расстановки значений в массиве lp: следует брать числа, кратные i, и обновлять у них значение lp. Однако основная цель — научиться делать это таким образом, чтобы в итоге у каждого числа значение lp было бы установлено не более одного раза.

Утверждается, что для этого можно поступить таким образом. Рассматриваются числа вида x = p ⋅ i, где p последовательно равно всем простым числам не превосходящим lp (как раз для этого понадобилось хранить список всех простых чисел).

У всех чисел такого вида проставим новое значение lp — оно должно быть равно p.

Вход: натуральное число n Пусть pr — целочисленный массив, поначалу пустой; lp — целочисленный массив, индексируемый от 2 до n, заполненный нулями для i := 2, 3, 4, …, до n: если lp = 0: lp := i pr += {i} для p из pr пока p ≤ lp и p*i ≤ n: lp := p Выход: все числа в массиве pr.

Сложность алгоритма на практике

Решето Эратосфена является популярным способом оценки производительности компьютера. Как видно из вышеизложенного доказательства сложности алгоритма, избавившись от константы и слагаемого очень близкого к нулю (ln (ln n — ln ln n) — ln ln 2 ≈ ln ln n), временная сложность вычисления всех простых чисел меньше n аппроксимируется следующим соотношением O(n ln ln n). Однако алгоритм имеет экспоненциальную временную сложность в отношении размера входных данных, что делает его псевдополиномиальным алгоритмом. Памяти же для базового алгоритма требуется O(n).

Сегментированная версия имеет ту же операционную сложность O(n ln ln n),. что и несегментированная версия, но уменьшает потребность в используемой памяти до размера сегмента (размер сегмента значительно меньше размера всего массива простых чисел), который равен O(√n/ln n). Также существует очень редко встречающееся на практике оптимизированное сегментированное решето Эратосфена. Оно строится за O(n) операций и занимает O(√n ln ln n/ln n) бит в памяти.

На практике оказывается, что оценка ln ln n не очень точна даже для максимальных практических диапазонов таких как 1016. Ознакомившись с вышеописанным доказательством сложности, нетрудно понять откуда взялась неточность оценки. Расхождение с оценкой можно объяснить следующим образом: в пределах данного практического диапазона просеивания существенное влияние оказывают постоянные смещения. Таким образом очень медленно растущий член ln ln n не становится достаточно большим, чтобы константами можно было справедливо пренебречь, до тех пор пока n не приблизится к бесконечности, что естественно выходит за границы любого прикладного диапазона просеивания. Данный факт показывает, что для актуальных на сегодняшний день входных данных производительность решета Эратосфена намного лучше, чем следовало ожидать, используя только асимптотические оценки временной сложности.

Следует также отметить, что решето Эратосфена работает быстрее, чем часто сравниваемое с ним решето Аткина только для значений n меньших 10 10 . Сказанное справедливо при условии, что операции занимают примерно одно и то же время в циклах центрального процессора, а это является разумным предположением для одного алгоритма, работающего с огромным битовым массивом. С учетом этого предположения получается, что сито Аткина быстрее чем максимально факторизованное решето Эратосфена для n свыше 10 13 , но при таких диапазонах просеивания потребуется занять огромное пространство в оперативной памяти, даже если была использована «битовая упаковка». Однако раздел о сегментированной версии решета Эратосфена показывает, что предположение о сохранении равенства во времени, затрачиваемом на одну операцию, между двумя алгоритмами не выполняется при сегментации. В свою очередь это приводит к тому, что решето Аткина (несегментированное) работает медленнее, чем сегментированное решето Эратосфена с увеличением диапазона просеивания, за счёт уменьшения времени на операцию для второго.

Использование нотации O большого также не является правильным способом сравнения практических характеристик даже для вариаций решета Эратосфена, поскольку данная нотация игнорирует константы и смещения, которые могут быть очень значительными для прикладных диапазонов. Например, одна из вариаций решета Эратосфена известная как решето Притчарда имеет производительность O(n), но её базовая реализация требует либо алгоритма «одного большого массива» (то есть использования обычного массива, в котором хранятся все числа до n), который ограничивает его диапазон использования до объёма доступной памяти, либо он должен быть сегментирован для уменьшения использования памяти. Работа Притчарда уменьшила требования к памяти до предела, но платой за данное улучшение по памяти является усложнение вычислений, что приводит увеличению операционной сложности алгоритмов.

Популярным способом ускорения алгоритмов, работающих с большими массивами чисел, является разного рода факторизация. Применение методов факторизации даёт значительное уменьшение операционной сложности за счёт оптимизации входного массива данных. Для индексных алгоритмов часто используют кольцевую факторизацию. Рассматриваемые в данной статье алгоритмы нахождения всех простых чисел до заданного n подобные решету Эратосфена относятся к индексным, что позволяет применять к ним метод кольцевой факторизации.

Несмотря на теоретическое ускорение, получаемое с помощью кольцевой факторизации, на практике существуют факторы, которые не учитываются при расчётах, но способны оказать существенное влияние на поведение алгоритма, что в результате может не дать ожидаемого прироста в быстродействии. Рассмотрим наиболее существенные из них:

  • Умножение и деление. При аналитических расчётах предполагается, что скорость выполнения арифметических операций равноценна. Но на самом деле это не так, и умножение, и деление выполняются гораздо медленнее, чем сложение и вычитание. Таким образом данный фактор никак не влияет на решето Эратосфена, поскольку оно использует только сложение и вычитание, но является весьма существенным для решета Питчарда (один из результатов усложнения вычислений упомянутого выше).
  • Оптимизация компилятора. Компилятор оптимизирует на стадии компиляции все программы для более корректного исполнения машиной. Но часто бывает очень сложно сказать, какой вклад даёт данная оптимизация, и будет ли этот вклад одинаковым для двух различных алгоритмов.
  • Кэш. Процессор использует кэш, чтобы ускорить извлечение инструкций и данных из памяти. Наличие кэша приводит к тому, что программы, использующие локализованные ссылки, будут работать быстрее. Но алгоритмы просеивания простых чисел, которые используют факторизацию высокой степени, часто генерируют случайные ссылки в память, что снижает их производительность.

Для наглядности представления вклада факторизации в производительность алгоритмов просеивания ниже приведены две таблицы. В таблицах приведены результаты измерения реального времени исполнения решета Эратосфена и решета Питчарда в секундах для разных диапазонов n и разных степеней кольцевой факторизации. Ei и Pi обозначения для решета Эратосфена и Питчарда соответственно, где индекс i означает степень кольцевой факторизации. Стоит отметить, что E0 и P0 означают отсутствие факторизации.

Из таблицы видно, что лучшую производительность имеет решето Эратосфена со средней степенью факторизации E2. Данный факт можно объяснить влиянием кэш-фактора, рассмотренного выше, на алгоритмы с высокой степенью факторизации.

В заключение стоит отметить, что с увеличением n соотношение времен становится всё больше в пользу решета Эратосфена, а на диапазоне n = 5000000 оно стабильно быстрее при любых факторизациях. Данный факт ещё раз подтверждает проигрыш в быстродействии решета Питчарда из-за сложных вычислений.

> См. также

  • Решето Сундарама
  • Решето Аткина
  • Корекурсия

> Примечания

решето

Раскрыты детали новой техники атаки KRACK (Key Reinstallation Attacks), позволяющей вклиниться в беспроводное соединение на базе технологии WPA2 и организовать перехват или подстановку трафика без подключения к беспроводной сети и без определения пароля доступа. Новая техники атаки сводит на нет уровень защиты WPA2, делая работу через WPA2 не более защищённой чем, работа в публичной WiFi-сети. Всем пользователям рекомендуется обязательно использовать дополнительные уровни защиты при работе с конфиденциальными данными при соединении через WPA2, такие как VPN или обращение к ресурсам только по HTTPS.

Атака затрагивает концептуальную недоработку в стандарте WPA2, что делает уязвимыми все корректные реализации стандарта, независимо от применяемых шифров (WPA-TKIP, AES-CCMP, GCMP). В том числе наличие проблемы подтверждено в Android, Linux, macOS, iOS, Windows, OpenBSD, MediaTek и Linksys. Наибольшую опасность представляет уязвимость в пакете wpa_supplicant, для которого проведение атаки существенно упрощается, так как в версиях wpa_supplicant 2.4+ дополнительно найдена уязвимость, при помощи которой атакующие могут перевести соединение на работу с пустым ключом шифрования и полностью контролировать трафик. Уязвимость связана с тем, что после установки ключ очищается из памяти, поэтому операция переустановки приводит к использованию пустого ключа. Wpa_supplicant используется в платформе Android 6+ и дистрибутивах Linux, что делает данные системы наиболее уязвимыми при доступе в сеть через WPA2. Для других реализаций возможна выборочная расшифровка кадров.

Атака сводится к инициированию процесса перенастройки сессионных ключей шифрования WPA/WPA2/RSN (TK, GTK или IGTK), путём отправки клиенту или точке доступа специально оформленного кадра. Подобная перенастройка может быть использована злоумышленником для отключения защиты от повторного воспроизведения и существенного снижения стойкости шифрования до уровня, позволяющего, в зависимости от применяемого шифра, выполнить расшифровку содержимого передаваемых кадров или определить части ключей шифрования.

В частности, так как атакующий добивается переустановки уже используемого ключа в процессе согласования соединения, то осуществляется сброс привязанного к соединению номера передаваемых пакетов (nonce) и сбрасывается счётчик полученных ответов. Таким образом появляется возможность повторного использования одноразового значения «nonce». В зависимости от настроек беспроводной сети атакующий может организовать прослушивание трафика или манипуляцию данными, например, осуществить подстановку вредоносного кода на страницы сайтов, получаемые без HTTPS.

Опасность проблемы сглаживает то, что уязвимость может быть устранена без нарушения обратной совместимости, путём наложения патча на стороне клиента. Проблема будет устранена в hostapd/wpa_supplicant 2.7, но уже доступны патчи и пакеты с исправлением сформированы для Debian и Fedora, а в ближайшие часы ожидаются для Ubuntu, RHEL и SUSE. Из производителей оборудование обновление прошивки пока выпустил только Mikrotik. В OpenBSD проблема была устранена ещё конце августа, так как разработчики данной системы отказались откладывать исправление до окончания эмбарго, но согласились не афишировать связь исправления с уязвимостью до общего анонса.

https://xakep.ru/2017/10/16/wpa2-krack/

https://www.opennet.ru/opennews/art.shtml?num=47392

После сегодняшнего раскрытия информации, WPA2 более нельзя будет считать надежным, как это некогда произошло с WEP. Под ударом, вероятнее всего, окажутся миллионы сетевых устройств и их владельцы, а использования Wi-Fi придется избегать до выхода патчей. И если роутеры, скорее всего, получат обновления для этих потенциальных проблем, что произойдет с сонмом IoT-устройств, можно только догадываться.

Мало кто знает, что буква S в аббревиатуре IoT означает Security

Картинки к слову «Решето»

Также слово является ответом на вопросы:

  • В 16-18 веках на ярмарочных и рыночных площадках можно было встретить гадалок, которые предсказывали счастливое замужество, нежданное богатство, скорое наследство и другие счастливые и невероятные события в жизни. На чём при этом они гадали?
  • Дурака учить — что им воду носить.
  • Кухонная утварь, с которой сравнивают забывчивую голову.
  • Ёмкость, в которой воду не носят.
  • Тара для чудес.
  • Приспособление для просеивания.
  • Шутливая команда с вратарём-дыркой.
  • «Царские милости в боярское … сеются» (посл.).
  • Посуда-фильтр.
  • «Новая посудина, а вся в дырах» (загадка).
  • Миска с дырочками на дне.
  • Просеивающее устройство.
  • Расположение шашек, при котором между ними имеются свободные поля.
  • … Эратосфена.
  • Предмет хозяйственного обихода.
  • Просеивающее устройство в сельскохозяйственных машинах.
  • Широкий обруч с натянутой на него сеткой для просеивания чего-нибудь.
  • Хозяйственная утварь в виде широкого деревянного обода с натянутой сеткой.
  • Утварь для просеивания муки.
  • Крупное сито.
  • Библейская эмблема грядущего Божьего Суда
  • Предмет кухонной утвари, крупное сито
  • Предмет хозяйственного обихода
  • Псевдоним сита
  • Тара для чудес
  • Забывчивая голова
  • Приспособление для просеивания
  • … Эратосфена
  • Посуда-фильтр
  • «новая посудина, а вся в дырах» (загадка)
  • Дурака учить — что им воду носить
  • Кухонная утварь, с которой сравнивают забывчивую голову
  • Емкость, в которой воду не носят
  • Миска с дырочками на дне
  • Просеивающее устройство
  • В нем чудеса
  • Посуда с дырочками
  • Посуда, в которой чудеса
  • Дырявая посуда
  • Дырявое как сито
  • Тара не для переноски воды
  • Крупноячеистый собрат сита
  • Старший собрат сита
  • Узел зерноуборочного комбайна
  • Сито
  • В нем дурень воду носит
  • Большое сито для содержания чудес
  • Тара, больше подходящая для чудес, чем для воды
  • Предмет кухонной утвари
  • Утварь для чудес
  • Новая посудина, а вся в дырах
  • В нем не носят воду
  • Дрявая тара для чудес
  • Грохот как аппарат
  • Мучная утварь
  • «чудесная» посуда
  • Сосуд для воды или чудес
  • Сито с чудесами
  • Команда с вратарем-дыркой

Проект «В чем заслуга Эратосфена?»

В чем заслуга Эратосфена? (проект)

  • Выполнил ученик 5а класса
  • ГБОУ СОШ «ЦО» пос.Варламово м.р.
  • Сызранский Самарской области
  • Абасян Самвел
  • Руководитель Лисенков С.А.

Проблема

  • При изучении темы «Географические открытия
  • древности и средневековья» по географии я
  • столкнулся с тем, что мне не хватает знаний, о тех
  • ученых, о которых упоминал учитель на уроке. А
  • именно, о древнегреческом ученом Эратосфене.
  • Появилась цель создать иллюстративный материал в
  • виде презентации для использования на уроке,
  • поделиться полученными знаниями и своим проектом
  • с одноклассниками.

Цель и задачи

  • Цель:
  • Определить в чем заслуга Эратосфена
  • Задачи:
  • Получить сведения об ученом из различных источников информации;
  • Сделать выводы по теме;
  • Использовать информационные технологии для представления результатов проекта.

Эратосфен — кто он?

  • Эратосфен (около 276 — 194 гг. до
  • н.э.) — греческий ученый, живший
  • во второй половине III века до н.э.
  • в Александрии.
  • Познания и интересы его были
  • обширны и разнообразны.
  • Филология и литература, музыка и
  • история, математика, астрономия и
  • картография — вот далеко не
  • полный перечень того, чем он
  • занимался. Энциклопедическая
  • образованность позволила
  • Эратосфену многие годы
  • заведовать знаменитой
  • Александрийской библиотекой, в
  • стенах которой он написал свои
  • труды.

«Географика»

  • Одну из работ, посвященную исследованию Земли,
  • Эратосфен назвал «Географика», снабдив ее составленными им
  • самим картами. Появление этой книги ознаменовало рождение
  • новой науки — географии;
  • Эратосфен же вошел в историю как ее «крестный отец», впервые
  • применивший термин «география».

Карта Эратосфена Первая карта мира

  • Заслугой его является создание первой карты
  • мира. Она вобрала в себя все сведения,
  • известные в то время, об окружающей
  • территории.
  • На этой карте земная поверхность была
  • разделена на 4 зоны, причем землю, обжитую
  • людьми, Эратосфен расположил в северной
  • части карты, полагая, что обжитая территория
  • не может существовать на жарком юге.

Климатические пояса

  • Сочинение Эратосфена о
  • географии делилось на три
  • книги. В первой автор дал обзор
  • истории географии. Вторая книга
  • излагает основы географии по
  • взглядам самого автора.
  • Предмет третьей книги
  • составляет суша. Здесь
  • Эратосфен впервые выделил на
  • нашей планете климатические
  • пояса.

Система координат

  • Но особенно важно,
  • что Эратосфен
  • изобрел систему
  • координат, покрыв
  • свою карту сеткой из
  • перекрещивающихся
  • горизонтальных и
  • вертикальных линий.
  • Он первым ввел понятие
  • параллели и меридиана.

Длина окружности земного шара

  • С помощью астрономических приборов
  • Эратосфен осуществил уникальное и
  • точное измерение длины окружности
  • Земли по меридиану, который проходит
  • через Александрию.
  • Этот прибор основан на принципе
  • отбрасывания солнечных теней, и с его
  • помощью определили размер Земли.
  • Прошло 18 веков, прежде чем ученые
  • измерили Землю гораздо точнее.
  • У Эратосфена получилось, что длина
  • большого круга земного шара равна
  • 36990 км (по данным современных
  • измерений длина окружности Земли
  • равна 40076 км).

Вывод

  • Эратосфена называют «отцом географии» за его заслуги в развитии географических идей, а также за то, что ему принадлежит и сам термин «география» (землеописание).
  • Самым выдающимся достижением Эратосфена в области географии было изобретение способа измерения размера земного шара, доказав шарообразность Земли
  • Заложил основы математической географии, впервые определил радиус земного шара (6311 км).
  • Впервые выделили на нашей планете климатические пояса
  • Заслуга Эратосфена также и в том, что он развил идею Аристотеля о единстве и беспредельности Мирового океана. Он говорил: «Если бы обширность Атлантического моря не препятствовала нам, то можно было бы переплыть из Иберии в Индию по одному и тому же параллельному кругу». Таким образом, Эратосфен предполагал, что земля окружена океаном.

Увековечение имени

  • В честь Эратосфена назван кратер на Луне.

Ресурсы интернет

  • https://content.foto.my.mail.ru/mail/angelica2000/_blogs/i-4503.jpg фон
  • http://fantik47.rusedu.net/gallery/3117/69657-4.jpg фон
  • http://megabook.ru/stream/mediapreview?Key=Эратосфен%20Киренский%20(портрет%20ученого)&Width=654&Height=654 эратосфен
  • http://ic.pics.livejournal.com/blogrev/36800038/793776/793776_900.jpg эратосфен
  • http://biofile.ru/pic/denc-1-012.jpg эрат 2 http://fs1.ppt4web.ru/images/6815/79992/640/img3.jpg эратосфен
  • http://megabook.ru/stream/mediapreview?Key=Эратосфен%20Киренский%20(карта%20мира)&Width=654&Height=654 карта
  • https://fs00.infourok.ru/images/doc/213/242124/hello_html_m281b0578.png эратосфен
  • https://www.1zoom.ru/big2/839/295718-alexfas01.jpg луна