Пятиугольник как выглядит

Свойства

Построение правильного пятиугольника

  • У правильного пятиугольника угол равен

α = ( n − 2 ) n ⋅ 180 ∘ = 3 5 ⋅ 180 ∘ = 108 ∘ {\displaystyle \alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {3}{5}}\cdot 180^{\circ }=108^{\circ }}

  • Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:

S = 5 4 t 2 c t g π 5 = 5 5 + 2 5 4 t 2 = 5 12 R d = 5 2 R 2 sin ⁡ 2 π 5 = 5 r 2 t g π 5 {\displaystyle S={\frac {5}{4}}t^{2}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}={\frac {5}{12}}Rd={\frac {5}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{5}}=5r^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{5}}}, где R {\displaystyle R}— радиус описанной окружности, r {\displaystyle r}— радиус вписанной окружности, d {\displaystyle d}— диагональ, t {\displaystyle t}— сторона.

  • Высота правильного пятиугольника:

h = tg 72 ∘ 2 t = 5 + 2 5 2 t ≈ 1,539 t {\displaystyle h={\frac {\operatorname {tg} \,72^{\circ }}{2}}t={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}t\approx 1{,}539t}

  • Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
  • Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу 1 + 5 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} .

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

  • Сторона:

t = R 5 − 5 2 ≈ 1,175 57 R {\displaystyle t=R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx 1{,}17557~R}

  • Радиус вписанной окружности:

r = 5 5 + 2 5 10 t ≈ 0,688 191 t {\displaystyle r={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{10}}t\approx 0{,}688191~t}

  • Радиус описанной окружности:

R = 1 0 5 + 5 10 t = ( 5 − 1 ) r ≈ 0,850 651 t ≈ 1,236 07 r {\displaystyle R={\frac {{\sqrt {1}}0{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{10}}t=({\sqrt {5}}-1)~r\approx 0{,}850651~t\approx 1{,}23607~r}

  • Диагональ:

d = Φ 5 R = 5 + 1 2 t ≈ 1,902 R ≈ 1,618 t {\displaystyle d={\sqrt {\Phi {\sqrt {5}}}}R={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}t\approx 1{,}902~R\approx 1{,}618~t}

  • Площадь:

S = 5 5 + 2 5 4 t 2 ≈ 1,720 48 t 2 {\displaystyle S={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}\approx 1{,}72048~t^{2}}

  • Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
  • Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)

S s = Φ 4 = 3 Φ + 2 = 3 5 + 7 2 ≈ 6,854 1 {\displaystyle {\frac {S}{s}}=\Phi ^{4}=3\Phi +2={\frac {3{\sqrt {5}}+7}{2}}\approx 6{,}8541}где Φ {\displaystyle \Phi }— отношение золотого сечения.

Построение

Построение правильного пятиугольника Построение правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

  1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
  2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
  3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
  4. Постройте точку C посередине между O и B.
  5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
  6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
  7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
  8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
  9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Пятиугольный узел на полоске бумаги > Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

Примечания

  1. A one-dimensional ice structure built from pentagons. Nature Materials. 8 March 2009 (англ.)

5-ортоплекс

5-ортоплекс, или пентакросс, или триаконтадитерон, или триаконтидитерон — пятимерное геометрическое тело, правильный политоп, имеющий 10 вершин, 40 рёбер, 80 граней — правильных треугольника, 80 правильнотетраэдрических 3-гиперграней, 32 пятиячейниковых 4-гиперграней. 5-ортоплекс — это один из бесконечного множества гипероктаэдров — политопов, двойственных гиперкубам. 5-ортоплекс представляет собой пятимерную 16-ячейниковую гипербипирамиду.

5-полугиперкуб

5-полугиперкуб — это полуправильный пятимерный политоп, полученный из 5-гиперкуба (пентеракта) альтернацией (удалением чередующихся вершин). Его гиперграни — 10 16-ячейников и 16 5-ячейников. Его вершинная фигура — полностью усечённый 5-ячейник.

6-ортоплекс

6-ортоплекс, или гексакросс или гексаконтитетрапетон— шестимерное геометрическое тело, правильный шестимерный политоп, имеющий 12 вершин, 60 рёбер, 160 граней — правильных треугольника, 240 правильнотетраэдрических 3-гиперграней, 192 пятиячейниковых 4-гиперграни и 64 5-ячейки, имеющих форму правильного 5-симплекса. 6-ортоплекс — это один из бесконечного множества гипероктаэдров — политопов, двойственных гиперкубам. 6-ортоплекс — тело, двойственное гексеракту. 6-ортоплекс — 5-ортоплексовая гипербипирамида.

Гептеракт

Гептера́кт, также 7-куб или 7-гиперкуб, тетрадека-7-топ, тетрадекаэксон (тетрадекаэкзон) — аналог куба в семимерном пространстве.

Определяется как выпуклая оболочка 128 точек {\displaystyle } .

Гирих (математика)

Мозаики «гирих» — это набор пяти плиток, использовавшихся для создания орнамента для украшения зданий в исламской архитектуре. Плитки использовались примерно с 12-го века и орнаменты существенно улучшились к моменту построения усыпальницы Дарб-и Имам в городе Исфахан в Иране (построена в 1453).

Пять плиток мозаики включают:

правильный десятиугольник с внутренними углами 144°;

удлиненный (неправильный выпуклый) шестиугольник с внутренними углами 72°, 144°, 144°, 72°, 144°, 144°;

галстук-бабочка (невыпуклый шестиугольник) с внутренними углами 72°, 72°, 216°, 72°, 72°, 216°;

ромб с внутренними углами 72°, 108°, 72°, 108°;

правильный пятиугольник с внутренними углами 108°.Все рёбра этих плиток имеют одну и ту же длину, а все углы кратны 36° (π/5 радиан). Четыре плитки (кроме пятиугольника) имеют двустороннюю (зеркальную) симметрию относительно двух перпендикулярных осей. Некоторые плитки имеют дополнительные симметрии. В частности, десятиугольник имеет десятикратную вращательную симметрию (вращение на 36°), а пятиугольник имеет пятикратную вращательную симметрию (вращение на 72°).

Собственно, гирих — это линии (орнамента), которым декорированы плитки. Плитки использовались для создания орнамента (гириха). На языке фарси слово گره означает «узел» . В большинстве случаев виден только гирих, (и другие украшения в виде цветов), но не границы самих плиток. Гирих является ломаными отрезками, пересекающими границы плиток по центру под углом 54° (3π/10) к ребру. Две перекрещивающиеся линии гириха пересекают каждое ребро плитки. Большинство плиток имеют единственный орнамент внутри, соответствующий симметрии плитки. Однако десятиугольник имеет два возможных орнамента гириха, один из которых имеет только пятикратную, а не десятикратную симметрию.

Десятиугольник

Десятиуго́льник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами.

Изотоксальная фигура

Многогранник, многоугольник или мозаика является изотоксальным или рёберно транзитивным, если его симметрии действуют транзитивно на его рёбрах. Неформально это означает, что имеется только один вид рёбер у объекта — если даны два ребра, существует параллельный перенос, вращение и/или зеркальное отражение, переводящее одно ребро в другое, не меняя область, занимаемую объектом.

Термин изотоксальный происходит от греческого τοξον, означающего дуга.

Многоугольник

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, звенья которой не пересекаются.

Огранка (геометрия)

В геометрии огранка — это процесс удаления части многоугольника или многогранника без создания новых вершин.

Новые рёбра огранённого многогранника могут быть созданы вдоль диагоналей граней или внутренних диагоналей. Огранённый многогранник будет иметь две грани для каждого ребра и является новым многогранником или соединением многогранников.

Огранка является обратным или двойственным образованию звёздчатой формы. Для каждой звёздчатой формы некоторого выпуклого многогранника существует двойственная огранка двойственного многогранника.

Октеракт

Октеракт, или 8-гиперкуб, или гексадеказеттон — восьмимерный гиперкуб, аналог куба в восьмимерном пространстве. Определяется как выпуклая оболочка 256 точек {\displaystyle } .

Орден Нила

Орден Нила (Kiladate El Nile) — высшая государственная награда Египта.

Пентагон (значения)

Пентаго́н (от греч. πενταγωνον — пятиугольник):

Пентагон — правильный пятиугольник.

Пентагон — здание Министерства обороны США, имеющего форму правильного пятиугольника.

Пентагон — станция Вашингтонгского метро.

Пентагон (компьютер) — популярный в СССР домашний ПК, кустарный клон компьютера ZX Spectrum.

Пентагондодекаэдр

Пентаго́ндодека́эдр (от др.-греч. δωδεκάεδρον — «двенадцатигранник» и πενταγον «пятиугольник») — объёмная фигура с двенадцатью гранями в форме неправильных пятиугольников.

Пентаграмма

Пентагра́мма (пентальфа, пентагерон; греч. πεντάγραμμον от πέντε «пять» + γράμμα «черта, линия») — фигура, полученная соединением вершин правильного пятиугольника через одну; фигура, образованная совокупностью всех диагоналей правильного пятиугольника.

Пентаграмма — правильный пятиугольник, стороны которого продлены до точек пересечения, и образуют равнобедренные треугольники на его гранях, то есть — звёздчатая форма правильного пятиугольника.

Пентеракт

Пентеракт (англ. penteract) — пятимерный гиперкуб, аналог куба в пятимерном пространстве. Пентеракт имеет 32 вершины, 80 рёбер, 80 граней, 40 ячеек (кубов) и 10 4-мерных ячеек (тессерактов).

Слово «пентеракт» возникло путём комбинирования слов «тессеракт» и «пента» (от греч. πέντε — «пять»). Также может именоваться пентакуб, 5-гиперкуб, дека-5-топ или декатерон.

Пятиугольник

Пятиугольник — многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы.

Символ Шлефли

Символ Шлефли — комбинаторная характеристика правильного многогранника, применяется для описания правильных многогранников во всех размерностях. Назван в честь швейцарского математика Людвига Шлефли, который внёс значительный вклад в геометрию и другие области математики.

Эннеракт

Эннеракт, или 9-гиперкуб, или октадекаиоттон — это девятимерный гиперкуб, аналог куба в девятимерном пространстве. Определяется как выпуклая оболочка 512 точек {\displaystyle } .

  • Треугольник
  • Квадрат
  • Пятиугольник
  • Шестиугольник
  • Семиугольник
  • Восьмиугольник
  • Девятиугольник
  • 17-угольник
  • 30-угольник
  • 257-угольник
  • 65537-угольник
  • 4294967295-угольник

По числу сторон
  • Одноугольник
  • Двуугольник
  • Треугольник
  • Четырёхугольник
  • Пятиугольник
  • Шестиугольник
  • Семиугольник
  • Восьмиугольник
  • Девятиугольник
  • Десятиугольник
  • Одиннадцатиугольник
  • Двенадцатиугольник
  • Тринадцатиугольник
  • Четырнадцатиугольник
  • Пятнадцатиугольник
  • Шестнадцатиугольник
  • Семнадцатиугольник
  • Восемнадцатиугольник
  • Девятнадцатиугольник
  • Двадцатиугольник
  • Двадцатиодноугольник
  • Двадцатидвухугольник
  • Двадцатичетырёхугольник
  • Двадцетипятиугольник
  • Двадцативосьмиугольник
  • Тридцатиугольник
  • Тридцатидвухугольник
  • Сорокаугольник
  • Пятидесятиугольник
  • Пятидесятиодноугольник
  • Шестидесятичетырёхугольник
  • Стоугольник
  • Тысячеугольник
  • Десятитысячеугольник
  • Миллионоугольник
  • Бесконечноугольник
Правильные Выпуклые Звёздчатые
Треугольники
Четырёхугольники
См. также

Многоугольники

  • {1}
  • {2}
  • {3}
  • {4}
  • {5}
  • {6}
  • {7}
  • {8}
  • {9}
  • {10}
  • {11}
  • {12}
  • {15}
  • {17}
  • {18}
  • {20}
  • {30}
  • {51}
  • {257}
  • {65537}
  • {4294967295}
  • {∞}

Звёздчатые многоугольники

Паркеты на плоскости

Правильные многогранники
и сферические паркеты

Многогранники Кеплера — Пуансо

Соты

Четырёхмерные многогранники

> Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

> См. также

  • Золотое сечение
  • Пятиугольник
  • Пентаэдр
  • Пентаграмма
  • Государственный знак качества СССР