Проекция меркатора

Проекция Меркатора

Карта мира Меркатора 1569 года

Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора — одна из основных картографических проекций. Разработана Герардом Меркатором для применения в его «Атласе». «Равноугольная» в названии проекции подчёркивает то, что проекция сохраняет углы между направлениями. Все локсодромы в ней изображаются прямыми линиями. Меридианы в проекции Меркатора представляются параллельными равноотстоящими линиями. Параллели же представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми равно расстоянию между меридианами вблизи экватора и быстро увеличивается при приближении к полюсам. Сами полюсы не могут быть изображены на проекции Меркатора (это обусловлено особенностями функции, отображающей координаты на сфере на координаты на плоскости), поэтому обычно карту в проекции Меркатора ограничивают областями до 80-85° градусов северной и южной широты.

Масштаб на карте в этой проекции не является постоянным, он увеличивается от экватора к полюсам (как обратный косинус широты), однако масштабы по вертикали и по горизонтали всегда равны, чем, собственно, и достигается равноугольность проекции. На картах в данной проекции всегда указывается, к какой параллели относится основной масштаб карты.

Искажения площадей в проекции Меркатора

Поскольку проекция Меркатора имеет различный масштаб на разных участках, эта проекция не сохраняет площади. Если основной масштаб относится к экватору, то наибольшие искажения размеров объектов будут у полюсов. Это хорошо заметно на картах в этой проекции: на них Гренландия кажется в 2-3 раза больше Австралии и сравнима по размерам с Южной Америкой. В реальности Гренландия втрое меньше Австралии и в 8 раз меньше Латинской Америки.

Проекция Меркатора оказалась весьма удобной для нужд мореходства, особенно в старые времена. Объясняется это тем, что траектория движения корабля, идущего под одним и тем же румбом к меридиану (т.е. с неизменным положением стрелки компаса относительно шкалы) изображается прямой линией на карте в проекции Меркатора.

Математическое выражение проекции Меркатора

Карта мира в проекции Меркатора с координатными линиями, проведёнными через 20°.

Для начала рассмотрим простейший вариант проекции Меркатора: проекцию сферы на цилиндр. Этот вариант не учитывает сплюснутости Земли у полюсов. Цилиндричность проекции сразу даёт нам выражение для горизонтальной координаты на карте: она просто пропорциональна долготе точки (при использовании в расчетах следует учесть, что выражаться эта величина должна в радианах)

.

Условие равноугольности — это просто равенство масштабов по горизонтальной и вертикальной оси. Поскольку масштаб по оси X на широте равен просто (R — радиус Земли), то из условия мы получаем выражение для зависимости y от

.

Обратное преобразование

Теперь нетрудно получить выражения для равноугольной проекции с учётом эллипсоидальной формы Земли. Для этого надо записать метрическую форму для эллипсоида (a — большая полуось, b — меньшая) в географических координатах

перейти в ней к координатам x и y и приравнять масштабы по осям. После интегрирования получаем

Здесь — эксцентриситет земного эллипсоида. Обратное преобразование не выражается в элементарных функциях, но уравнение для обратного преобразования легко решить методом теории возмущений по малому .

Итерационная формула для обратного преобразования имеет следующий вид:

, где можно взять равным 0 или приближению, рассчитанному по формуле для сфероида.

Проекции по поверхности проектирования

Цилиндрические

Основная статья: Цилиндрические картографические проекции

Термин «цилиндрическая проекция» используются по отношению к любой проекции, для которой меридианы проецируются в равноотстоящие вертикальные линии, а параллели — в горизонтальные линии.

Проекция Пример Создатель Год Примечания
Равнопромежуточная проекция Марин Тирский ок. 120 г. н. э. Простая геометрия; сохраняет расстояния вдоль экватора и всех меридианов
Галла-Петерса (англ.)русск. Джеймс Галл,

Арно Петерс

1855 Равновеликая
Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта Иоганн Ламберт 1772 Равновеликая
Проекция Меркатора Герард Меркатор 1569 Сохраняет углы,

не может отображать полюса

Цилиндрическая проекция Миллера Осборн Миллер (англ.)русск. 1942 Отображает полюса
Центральная цилиндрическая проекция (англ.)русск. XIX в. Используется в панорамной фотографии

Псевдоцилиндрические

Основная статья: Псевдоцилиндрические картографические проекции

Псевдоцилиндрические проекции представляют центральный меридиан и все параллели в виде отрезков прямых, проекции прочих меридианов не являются прямыми.

Проекция Пример Создатель Год Примечания
Проекция Эккерта IV Макс Эккерт-Грейфендорфф (англ.)русск.
Проекция Эккерта VI Макс Эккерт-Грейфендорфф (англ.)русск.
Проекция Гуда Джон Гуд (англ.)русск. 1923
Проекция Каврайского В. В. Каврайский 1939
Моллвейде (англ.)русск. Карл Моллвейде 1805
Синусоидальная проекция Николя Сансон

Флемстид, Джон

Гиперэллиптическая проекция Тоблера Валдо Тоблер (англ.)русск. 1973
Проекция Вагнера К. Х. Вагнер (англ.)русск.
Хельцель Хельцель Ок. 1960

Конические

Основная статья: Конические картографические проекции

Проекция Пример Создатель Примечания
Равнопромежуточная Птолемей
Равноугольная Ламберта Иоганн Ламберт

Псевдоконические

Проекция Пример Создатель Примечания
Проекция Бонне Ригобер Бонне
Проекция Вернера Иоганнес Вернер (англ.)русск.,
Иоганнес Стабиус
Поликоническая (англ.)русск. Фердинанд Хасслер (англ.)русск.

Азимутальные

Основная статья: Азимутальные картографические проекции

Азимутальные проекции сохраняют направления из центральной точки (и следовательно, большие окружности, проходящие через центральную точку, представлены прямыми на карте). Как правило, такие проекции также имеют радиальную симметрию масштабов, а значит и искажений: расстояния на карте из центральной точки вычисляются по функции r(d) от истинного расстояния d, независимо от угла; соответственно, круги с центром в центральной точке представлены кругами с центром в центральной точке на карте.

Проекция Пример Создатель Примечания
Азимутальная проекция Эта проекция используется Геологической службой США в Национальном Атласе США, а также в эмблеме ООН.
Равновеликая азимутальная проекция Ламберта Иоганн Ламберт

Псевдоазимутальные

Проекция Пример Создатель Примечания
Айтоф (англ.)русск. Давид Айтоф (англ.)русск.
Хаммера (англ.)русск. Эрнст Хаммер (англ.)русск.
Тройная Винкеля (англ.)русск. Освальд Винкель (англ.)русск.

Полиэдрические

Основная статья: Геодезические сетки

Полиэдрические проекции проецируют поверхность геоида на различные многогранные аппроксимации сферы. В качестве проекции на каждую грань часто используется гномоническая проекция, но некоторые картографы предпочитают равновеликую проекцию Фишера-Снайдера или равноугольную проекцию.

Проекция Пример Создатель Примечания
«Бабочка» Кахилла Бернард Кахилл (англ.)русск.
«Бабочка» Уотермана (англ.)русск. Стив Уотерман (англ.)русск.
Квадрилатеральный сферический куб (англ.)русск. Ф. Кеннетт Чан, Э. М. О`Нил Равновеликая
Проекция Пирса (англ.)русск. Чарлз Пирс Равноугольная
Проекция Димаксион Бакминстер Фуллер Уменьшение искажений ценой нарушения непрерывности карты
Мириаэдрическая проекция Джек Ван Вийк (англ.)русск. Проекция глобуса на так называемый «мириаэдр» — многогранник с несколькими тысячами граней.

Проекции по их метрическим свойствам

Равноугольные

Проекция Пример Создатель Примечания
Равноугольная коническая проекция Ламберта Иоганн Ламберт
Проекция Меркатора Герард Меркатор
Проекция Пирса (англ.)русск. Чарльз Пирс

Равновеликие

  • Проекция Моллвейде (англ.)русск. (эллиптическая)
  • Проекция Бонне и проекция Боттомли (англ.)русск., их частными случаями являются:
    • Синусоидальная проекция
    • Проекция Вернера (кардиоидная)
  • Проекция Колиньона (англ.)русск.
  • cylindrical equal-area (англ.)русск., семейство проекций, включающее:
    • Проекция Галла-Петерса (англ.)русск.
    • Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта
    • Проекция Берманна (англ.)русск.
    • Равноплощадная проекция Смита, или прямоугольная проекция Краснера
    • Тристан Эдвардс
    • Проекция Хобо-Дайера
    • Балтасарт
  • Проекция Альберса
  • Равноплощадная азимутная проекция Ламберта (англ.)русск.
  • Проекция Хаммера (англ.)русск.
  • Briesemeister
  • Гиперэллиптическая проекция Тоблера, семейство проекций, включающее особый случай проекции Мольвельде, Колиньона и других цилиндрических равновеликих проекций.
  • квадрилатеральный сферический куб (англ.)русск.
  • Равновеликая полиэдрическая проекция Снайдера, используемая для геодезических решёток.

Гибридные карты, использующие в одних регионах одну равновеликую проекции, а в других — другую:

  • HEALPix (англ.)русск.: Равновеликие цилиндрические проекции Колиньона и Ламберта;
  • Гомолосинусоидальная проекция Гуда: синусоидальная + Мольвельде;
  • Philbrick Sinu-Mollweide: синусоидальная + Мольвельде, косая, ненепрерваная.
  • Асимметричная проекция Хатано: две разные псевдоцилиндрические проекции равной площади соединяются на Экваторе.

Многогранные равноплощадые карты обычно используют равновеликую проекция Ирвинга Фишера, в то время как большинство многогранных равноплощадых карт используют гномоническую прокцию.

Эквидистантные

Эквидистантные проекции сохраняют расстояние между некоторыми стандартными точками или линиями.

  • Азимутная равнодистантная проекция (англ.)русск. — сохраняет расстояния вдоль больших окружностей, исходяших из центра
  • Равнопромежуточная проекция — сохраняет расстояния вдоль меридиан
    • Проекция Плате-Карре (англ.)русск. — равнопромежуточная проекция с центром на Экваторе
    • Проекция Кассини (англ.)русск. (в честь Кассини, Цезарь Франсуа, иногда Проекция Кассини-Зольднера) — поперечная цилиндрическая проекция сохраняет масштаб вдоль центрального меридиана и всех линий, параллельных ему, и не является ни равновеликой, ни равноугольной.
  • Равнопромежуточная коническая проекция — локальные формы являются истинными вдоль стандартных параллелей, искажение постоянно вдоль любой данной параллели, но увеличивается по мере удаления от стандартных параллелей.
  • Проекция Вернера, сохраняющая расстояние до северного полюса и по кривой вдоль параллелей;
  • Равнопромежуточная проекция двух точек (англ.)русск.: две «контрольные точки» выбираются произвольно составителем карты. Сохраняются расстояния между любой точкой на карте и этими точками.
  • Ортографическая проекция (англ.)русск. — сохраняет расстояния между параллелями
  • Синусоидная проекция (англ.)русск. — сохраняет расстояния между параллелями
  • Азимутальная равновеликая проекция Ламберта (англ.)русск. — сохраняет площадь отдельных полигонов, одновременно поддерживая истинное направление от центра.
  • Поликоническая проекция (англ.)русск. — нет искажений форм и местности площадей вдоль центрального меридиана .

Гномоническая

Проекция Пример Создатель Примечания
Гномоническая

Ретроазимутальная

Проекция Пример Создатель Примечания
Ретроазимутальная проекция Крейга

Компромиссные проекции

Проекция Пример Создатель Примечания
Проекция Робинсона (англ.)русск. Артур Робинсон Компромисс между конформными и равновеликими проекциями
Проекция Ван дер Гринтена Альфонс ван дер Гринтен Компромисс между конформными и равновеликими проекциями
Цилиндрическая проекция Миллера Osborn Maitland Miller (англ.)русск.
Тройная проекция Винкеля (англ.)русск. Винкель, Освальд (англ.)русск. Эта проекция — среднее арифметическое между равнопромежуточной проекцией и проекцией Айтофа
Проекция Димаксион Бакминстер Фуллер Уменьшает искажения путём потери неразрывности поверхности
Bernard J.S. Cahill (англ.)русск. Бернард Кахилл (англ.)русск.
«Бабочка» Уотермана (англ.)русск. Стив Уотерман (англ.)русск.
Проекция Каврайского В. В. Каврайский
Проекция Вагнера Эквивалентна проекции Каврайского с коэффициентом горизонтального масштабирования 3 / 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}/{2}} .

Меркаторская проекция

Карта мира в проекции Меркатора с координатными линиями, проведёнными через 20°. Меркаторская проекция — нормальная равноугольная цилиндрическая картографическая проекция, наиболее распространенная для составления морских карт. Карта в этой проекции впервые предложена в 1569 г. фламандским картографом и математиком XVI века Г. Меркатором и получила признание во всех странах, так как лучше удовлетворяла требованиям мореплавателей.

Недостаток ее в том, что с увеличением широты растет и масштаб. Но есть и неоценимое достоинство— простота построения и нанесения на нее точек и линий. Кроме того, прямая линия, проведенная в произвольном направле­нии, является линией постоянного курса (пересекает мериди­аны под одинаковым углом и называется локсодромией — греч. «кривой бег»). Именно поэтому меркаторскую проекцию и применяют для навигационных карт.
Меридианы в проекции Меркатора представляются параллельными равноотстоящими линиями. Параллели же представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми равно расстоянию между меридианами вблизи экватора и быстро увеличивается при приближении к полюсам. Сами полюсы не могут быть изображены на проекции Меркатора (это обусловлено особенностями функции, отображающей координаты на сфере на координаты на плоскости), поэтому обычно карту в проекции Меркатора ограничивают областями до 80—85° северной и южной широты.

Искажения площадей в проекции Меркатора

Масштаб на карте в этой проекции не является постоянным, он увеличивается от экватора к полюсам (как обратный косинус широты), однако масштабы по вертикали и по горизонтали всегда равны, чем, собственно, и достигается равноугольность проекции. На картах в данной проекции всегда указывается, к какой параллели относится основной масштаб карты.
Поскольку проекция Меркатора имеет различный масштаб на разных участках, эта проекция не сохраняет площади. Если основной масштаб относится к экватору, то наибольшие искажения размеров объектов будут у полюсов. Это хорошо заметно на картах в этой проекции: на них Гренландия кажется в 2—3 раза больше Австралии и сравнима по размерам с Южной Америкой. В реальности Гренландия втрое меньше Австралии и в 8 раз меньше Южной Америки.

Карта мира в проекции Меркатора с координатными линиями, проведёнными через 20°

Для начала рассмотрим простейший вариант проекции Меркатора: проекцию сферы на цилиндр. Этот вариант не учитывает сплюснутости Земли у полюсов. Цилиндричность проекции сразу даёт нам выражение для горизонтальной координаты на карте: она просто пропорциональна долготе точки λ {\displaystyle \lambda } (при использовании в расчетах следует учесть, что выражаться эта величина должна в радианах):

x = c ( λ − λ 0 ) . {\displaystyle x=c(\lambda -\lambda _{0}).}

Условие равноугольности — это просто равенство масштабов по горизонтальной и вертикальной оси. Поскольку масштаб по оси X на широте θ {\displaystyle \theta } равен просто c / ( R cos ⁡ θ ) {\displaystyle c/(R\cos \theta )} (R — радиус Земли), то из условия d y R cos ⁡ θ / c = R d θ {\displaystyle dyR\cos \theta /c=Rd\theta } мы получаем выражение для зависимости y от θ {\displaystyle \theta } :

y = c ln ⁡ tg ⁡ ( θ 2 + π 4 ) = c arth ⁡ sin ⁡ θ . {\displaystyle {\begin{matrix}y&=&c\ln \operatorname {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\&=&c\,\operatorname {arth} \sin \theta .\end{matrix}}}

(Здесь arth — обратный гиперболический тангенс).

Функция arth ⁡ sin ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {arth} \sin \theta } носит специальное название функции Ламберта, или ламбертиана (в честь Иоганна Ламберта) и иногда обозначается как lam ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {lam} \theta } или arcgd ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {arcgd} \theta } (см. также Интеграл от секанса).

Обратное преобразование (из линейной координаты y в широту θ) носит название функции Гудермана, или гудерманиана (в честь Кристофа Гудермана) и обозначается gd ⁡ y . {\displaystyle \operatorname {gd} y.} Обратное преобразование координаты x в долготу λ является, как и прямое преобразование, линейной функцией:

θ = gd ⁡ y = 2 arctg ⁡ ( e y / c ) − 1 2 π = arctg ⁡ ( sh ⁡ ( y / c ) ) , λ = x / c + λ 0 . {\displaystyle {\begin{matrix}\theta &=&\operatorname {gd} y=2\operatorname {arctg} \left(e^{y/c}\right)-{\frac {1}{2}}\pi \\\\\ &=&\operatorname {arctg} \left(\operatorname {sh} (y/c)\right),\\\\\lambda &=&x/c+\lambda _{0}.\end{matrix}}}

Теперь нетрудно получить выражения для равноугольной проекции с учётом эллипсоидальной формы Земли. Для этого надо записать метрическую форму для эллипсоида (a — большая полуось, b — малая полуось) в географических координатах

d l 2 = a 2 d λ 2 1 + a 2 b 2 tg 2 ⁡ θ + b 4 a 2 d θ 2 ( cos 2 ⁡ θ + b 2 a 2 sin 2 ⁡ θ ) 3 , {\displaystyle dl^{2}={\frac {a^{2}d\lambda ^{2}}{1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\operatorname {tg} ^{2}\theta }}+{\frac {b^{4}}{a^{2}}}{\frac {d\theta ^{2}}{(\cos ^{2}\theta +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\theta )^{3}}},}

перейти в ней к координатам x и y и приравнять масштабы по осям. После интегрирования получаем

x = c ( λ − λ 0 ) y = c . {\displaystyle {\begin{matrix}x&=&c(\lambda -\lambda _{0})\\y&=&c.\end{matrix}}}

Здесь ε = a 2 − b 2 / a {\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}/a} — эксцентриситет земного эллипсоида.

Обратное преобразование, вообще говоря, не выражается в элементарных функциях, но уравнение для обратного преобразования легко решить методом теории возмущений по малому ε {\displaystyle \varepsilon } . Итерационная формула для обратного преобразования имеет следующий вид:

θ n + 1 = f ( θ n , y ) {\displaystyle \theta _{n+1}=f\left(\theta _{n},y\right)}, где θ 0 {\displaystyle \theta _{0}}можно взять равным 0 или приближению, рассчитанному по формуле для сфероида. θ n + 1 = arcsin ⁡ ( 1 − ( 1 + sin ⁡ θ n ) ( 1 − ε sin ⁡ θ n ) ε e 2 y c ( 1 + ε sin ⁡ θ n ) ε ) {\displaystyle \theta _{n+1}=\arcsin \left(1-{\frac {(1+\sin \theta _{n})(1-\varepsilon \sin \theta _{n})^{\varepsilon }}{e^{\frac {2y}{c}}(1+\varepsilon \sin \theta _{n})^{\varepsilon }}}\right)}> См. также