Как сделать симметрию?

Геометрия четырёхмерного евклидова пространства

Векторы

Точки и векторы в трёхмерном пространстве с заданной системой координат определяются тремя координатами; аналогично точки и векторы в 4D имеет четыре координаты. Пример 4-вектора:

a = ( a 1 a 2 a 3 a 4 ) . {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{pmatrix}}.}

Сложение и вычитание векторов происходит покомпонентно, как и в трёх измерениях. Скалярное произведение 4-векторов определяется формулой:

a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 . {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}.}

Как и в трёхмерном случае, квадратный корень из скалярного квадрата вектора a ⋅ a {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} } есть его норма: ‖ a ‖ = a ⋅ a {\displaystyle \Vert \mathbf {a} \Vert ={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}} . Угол между векторами определяется по той же формуле, что и в трёхмерном пространстве:

θ = arccos ⁡ a ⋅ b ‖ a ‖ ⋅ ‖ b | | . {\displaystyle \theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\Vert \mathbf {a} \Vert \cdot \Vert \mathbf {b} ||}}.}

В отличие от трёхмерного случая, в 4D нет прямого аналога векторного произведения. Вместо него можно использовать бивектор внешнего произведения.

Стереометрия

Геометрия тел в 4D гораздо сложнее, чем в 3D. В трёхмерном пространстве многогранники ограничены двумерными многоугольниками (гранями), соответственно в 4D существуют 4-многогранники, ограниченные 3-многогранниками.

В 3D существуют 5 правильных многогранников, известных как Платоновы тела. В 4-х измерениях есть 6 правильных выпуклых 4-многогранников, это аналоги Платоновых тел. Если ослабить условия правильности, получатся дополнительно 58 выпуклых полуправильных 4-многогранников, аналогичных 13 полуправильным Архимедовым телам в трёх измерениях. Если снять условие выпуклости, получатся дополнительно ещё 10 невыпуклых регулярных 4-многогранников.

Правильные политопы четырёхмерного пространства
(Показаны ортогональные проекции для каждого числа Коксетера)

A4, B4, F4, H4,

Пятиячейник

Тессеракт

Шестнадцатиячейник

Двадцатичетырёхячейник

Стодвадцатиячейник

Шестисотячейник

В трёхмерном пространстве кривые могут образовывать узлы, а поверхности не могут (если они не являются самопересекающимися). В 4D положение меняется: узлы из кривых можно легко развязать, используя четвёртое измерение, а из двумерных поверхностей можно сформировать нетривиальные (не самопересекающиеся) узлы. Поскольку эти поверхности двумерны, они могут образовывать более сложные узлы, чем в 3-мерном пространстве. Примером такого узла из поверхностей является широко известная «бутылка Клейна».

Способы визуализации четырёхмерных тел

Проекции

Стереографическая проекция тора Клиффорда: множество точек (cos(a), sin(a), cos(b), sin(b)), который является подмножеством 3-сферы.

Проекция — изображение n-мерной фигуры на так называемом картинном (проекционном) подпространстве способом, представляющим собой геометрическую идеализацию оптических механизмов. Так, например, в реальном мире, контур тени предмета — это проекция контура этого предмета на плоскую или приближённую к плоской поверхность — проекционной плоскости. При рассмотрении проекций четырёхмерных тел проецирование осуществляется на трёхмерное пространство, то есть, по отношению к четырёхмерному пространству, на картинное (проекционное) подпространство (то есть пространство, с числом измерений или, иначе говоря, размерностью, на 1 меньшей, чем число измерений (размерность) самого того пространства, в котором находится проецируемое тело). Проекции бывают параллельными (проекционные лучи параллельны) и центральными (проекционные лучи исходят из некоторой точки). Иногда применяются также стереографические проекции. Стереографическая проекция — центральная проекция, отображающая n-1-сферу n-мерного шара (с одной выколотой точкой) на гиперплоскость n-1. N-1-сферой (гиперсферой) называют обобщение сферы, гиперповерхность в n-мерном (с числом измерений или размерностью n) евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы, гипершаром — тело (область гиперпространства), ограниченное гиперсферой.

Сечения

Сечение пентахорона тетраэдром в центральной проекции

Сечение — изображение фигуры, образованной рассечением тела плоскостью без изображения частей за этой плоскостью. Подобно тому, как строятся двухмерные сечения трёхмерных тел, можно построить трёхмерные сечения четырёхмерных тел, причём также как двухмерные сечения одного и того же трёхмерного тела могут сильно отличаться по форме, так и трёхмерные сечения будут ещё более разнообразными, так как будут менять и количество граней, и количество сторон у каждой грани сечения. Построение трёхмерных сечений сложнее, чем создание проекций, поскольку проекции можно (особенно для несложных тел) получить по аналогии с двухмерными, а сечения строятся только логическим путём, при этом рассматривается каждый конкретный случай отдельно.

Развёртки

Развертка тессеракта

Развёртка гиперповерхности — фигура, получающаяся в гиперплоскости (подпространстве) при таком совмещении точек данной гиперповерхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными. Аналогично тому, как трёхмерные многогранники можно сложить из бумажных развёрток, многомерные тела могут быть представлены в виде развёрток своих гиперповерхностей.

Попытки научного исследования

После того, как Бернхард Риман в 1853 году теоретически обосновал возможность существования n-мерного пространства, попытки обнаружить и исследовать гипотетические дополнительные измерения пространства неоднократно предпринимали как серьёзные учёные, так и всевозможные оккультисты и эзотерики. Английский математик Чарльз Хинтон опубликовал ряд книг на эту тему и глубоко изучил проблему визуализации. По его мнению, наш трёхмерный мир разделяет невидимый нам четырёхмерный на две части (аналогично тому, как плоскость делит пополам наше пространство). Эти части он условно назвал по-гречески Ана (верхний мир) и Ката (нижний мир).

Во второй половине XIX — начале XX века изучение этой темы было основательно дискредитировано спиритизмом, который рассматривал невидимые измерения как обиталище душ умерших, а миры Ана и Ката зачастую отождествлялись с адом и раем; свой вклад внесли философы и теологи. Вместе с тем вопрос привлекал внимание таких крупных учёных, как физики Уильям Крукс и Вильгельм Вебер, астроном Иоганн Карл Фридрих Цёлльнер (автор книги «Трансцендентальная физика»), нобелевские лауреаты лорд Рэлей и Джозеф Джон Томсон. Русский физик Дмитрий Бобылёв написал энциклопедическую статью по теме.

Физик и философ Эрнст Мах неоднократно высказывал предположение, что число измерений пространства не обязательно равно трём, например, в статье 1872 года: «Что до сих пор не удалось создать удовлетворительную теорию электричества, это зависит, может быть, от того, что электрические явления непременно хотели объяснить молекулярными процессами в пространстве с тремя измерениями» В 1914 году Гуннар Нордстрём опубликовал свой вариант новой теории тяготения, основанный на четырёхмерном пространстве в пятимерном пространстве-времени (модель 4+1); эта теория не соответствовала наблюдениям и была отвергнута. В 1920-е годы появилась близкая по геометрической структуре (та же модель 4+1) теория Калуцы — Клейна, объединяющая общую теорию относительности Эйнштейна и электромагнетизм Максвелла, все эффекты объяснялись геометрическими свойствами пространства и времени. В современной теории струн пространство-время имеет 11 измерений, см. старшие размерности.

В литературе

Основная статья: Четвёртое измерение в литературе

Тема дополнительных измерений пространства и близкая к ней тема параллельных миров давно стала популярной в фантастической и философской литературе. Герберт Уэллс, одним из первых описавший путешествие во времени, во многих других своих произведениях затронул также и невидимые измерения пространства: «Чудесное посещение», «Замечательный случай с глазами Дэвидсона», «Хрустальное яйцо», «Украденное тело», «Люди как боги», «История Платтнера». В последнем рассказе человек, выброшенный катастрофой из нашего мира и затем вернувшийся, претерпевает пространственное отражение — например, сердце у него оказывается с правой стороны. Владимир Набоков описал аналогичное изменение пространственной ориентации в романе «Смотри на арлекинов!» (1974). В научной фантастике второй половины XX века четвёртое измерение использовали такие крупные писатели, как Айзек Азимов, Артур Кларк, Фредерик Пол, Клиффорд Саймак и многие другие. Создание четырёхмерного тессеракта лежит в основе сюжета рассказа Роберта Хайнлайна, названного в русском переводе «Дом, который построил Тил».

Валерий Брюсов в 1924 году написал стихотворение «Мир N измерений».

В мистической литературе четвёртое измерение нередко описывается как обиталище демонов или душ умерших. Эти мотивы встречаются, например, у Джорджа Макдональда (роман «Лилит»), в нескольких рассказах Амброза Бирса, в рассказе А. П. Чехова «Тайна». В романе Дж. Конрада и Ф. М. Форда «Наследники» (The Inheritors, 1901) обитатели четвёртого измерения пытаются захватить нашу Вселенную.

В изобразительном искусстве

Основная статья: Четвёртое измерение в изобразительном искусстве

Концепция четвёртого измерения оказала значительное влияние на изобразительное искусство. Роль перспективы снизилась; например, кубисты (Пикассо, Метценже и другие) в своих картинах часто изображали людей и предметы одновременно в различных ракурсах, тем самым как бы добавляя им измерения (см., например, картину «Авиньонские девицы»). Гийом Аполлинер в 1913 году писал.:

Сегодня учёные больше не ограничивают себя тремя измерениями Евклида. И художники, что совершенно естественно (хотя кто-то и скажет, что только благодаря интуиции), привлекли новые возможности пространственных измерений, что на языке современных студий стало называться четвёртым измерением. Существуя в сознании образом пластики предмета, четвёртое измерение зарождается благодаря трём известным измерениям: оно представляет собой необъятность пространства во всех направлениях в каждый данный момент. Это само пространство, само измерение бесконечности; четвёртое измерение одаряет предметы пластичностью.

Поиском новых средств занимался сюрреалист Марсель Дюшан, хорошо знакомый с многомерной математикой и методами её визуализации. Среди наиболее характерных образцом его творчества — картины «Обнажённая на лестнице, № 2» и «Большое стекло». Аналогичные мотивы прослеживаются у футуристов, супрематистов («работы Малевича этого периода напоминают плоские сечения объектов из высших измерений») и сюрреалистов. У Сальвадора Дали есть картины «Распятие, или Гиперкубическое тело» и «В поисках четвёртого измерения».

> См. также

  • N-мерная евклидова геометрия
  • Гиперкуб

Симметрия

У этого термина существуют и другие значения, см. Симметрия (значения). Равнобедренный треугольник с зеркальной симметрией. Пунктирная линия является осью симметрии Рисунок бабочки с двусторонней симметрией

Симме́три́я (др.-греч. συμμετρία = «соразмерность»; от συμ- «совместно» + μετρέω «мерю»), в широком смысле — соответствие, неизменность (инвариантность), проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях (например: положения, энергии, информации, другого). Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы (сохраняя одну точку на месте). Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Отсутствие или нарушение симметрии называется асимметрией или аритмией.

Общие симметрийные свойства описываются с помощью теории групп.

Симметрии могут быть точными или приближёнными.

Энциклопедичный YouTube

  • 1/5 Просмотров:20 438 10 135 1 456 8 525 959
  • ✪ Геометрия 8 Осевая и центральная симметрия
  • ✪ Математика 6 Осевая симметрия
  • ✪ 6 класс, 26 урок, Симметрия
  • ✪ 8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрия
  • ✪ Виды симметрии. Симметрия и асимметрия. Примеры

Субтитры

  • 1 Симметрия в геометрии
    • 1.1 Зеркальная симметрия
    • 1.2 Осевая симметрия
    • 1.3 Вращательная симметрия
    • 1.4 Симметрия относительно точки
    • 1.5 Скользящая симметрия
  • 2 Симметрии в физике
    • 2.1 Суперсимметрия
    • 2.2 Трансляционная симметрия
  • 3 Симметрии в биологии
    • 3.1 Радиальная симметрия
    • 3.2 Билатеральная симметрия
  • 4 Симметрия в химии
  • 5 Симметрия в религии и культуре
  • 6 Другие виды симметрий
  • 7 Асимметрия
  • 8 Примечания
  • 9 Литература

Сдвиг и по­во­рот

Шар­нир­ный ромб, со­сто­я­щий из зве­ньев оди­на­ко­вой дли­ны и ис­поль­зу­ю­щий пол­зу­ны, пе­ре­дви­га­ю­щи­е­ся по крас­но­му непо­движ­но­му стерж­ню, ре­а­ли­зу­ет на плос­ко­сти осе­вую сим­мет­рию. Дей­стви­тель­но, по­ло­же­ние од­но­го из зе­лё­ных шар­ни­ров за­да­ёт по­ло­же­ние и дли­ну про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны сво­е­го тре­уголь­ни­ка, а тре­уголь­ни­ки, на­хо­дя­щи­е­ся по раз­ные сто­ро­ны от стерж­ня, все­гда рав­ны. Зна­чит, при лю­бом по­ло­же­нии ме­ха­низ­ма два зе­лё­ных шар­ни­ра сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но крас­но­го стерж­ня.

Возь­мём фигу­ру — кри­во­ли­ней­ный тре­уголь­ник — и по­смот­рим, во что она пе­рей­дёт под дей­стви­ем на­ше­го ме­ха­низ­ма. По­лу­чит­ся сим­мет­рич­ная фигу­ра. Она, в том чис­ле, рав­на из­на­чаль­ной, но по-дру­го­му ори­ен­ти­ро­ва­на. Т.е., ес­ли счи­тать плос­кость бес­ко­неч­ным ли­стом бу­ма­ги с на­ри­со­ван­ной на нём фигу­рой, то чтобы сов­ме­стить фигу­ру и её об­раз, необ­хо­ди­мо сло­жить лист по оси сим­мет­рии, при этом у од­ной его по­ло­вин­ки по­ме­ня­ет­ся верх с ни­зом.

При­ме­ним те­перь к уже по­лу­чив­ше­му­ся тре­уголь­ни­ку наш ме­ха­низм, ре­а­ли­зу­ю­щий сим­мет­рию, с осью, па­рал­лель­ной оси пер­во­го ме­ха­низ­ма. По­лу­чив­ший­ся тре­уголь­ник име­ет ту же ори­ен­та­цию, что и са­мый пер­вый, и по­лу­ча­ет­ся из него па­рал­лель­ным пе­ре­но­сом, т.е. сдви­гом. Двой­ной па­рал­ле­ло­грамм с дву­мя крас­ны­ми за­креп­лён­ны­ми шар­ни­ра­ми ре­а­ли­зу­ет это пре­об­ра­зо­ва­ние на плос­ко­сти. Итак, ре­зуль­та­том двух осе­вых сим­мет­рий с па­рал­лель­ны­ми ося­ми яв­ля­ет­ся про­сто сдвиг. Вер­но и об­рат­ное — лю­бой па­рал­лель­ный пе­ре­нос мож­но раз­ло­жить в две осе­вые сим­мет­рии с па­рал­лель­ны­ми ося­ми. Как нетруд­но за­ме­тить, та­кое раз­ло­же­ние не един­ствен­но.

Та­кой ре­зуль­тат по­сле­до­ва­тель­ных отоб­ра­же­ний на­зы­ва­ет­ся в ма­те­ма­ти­ке ком­по­зи­ци­ей, а в тер­ми­но­ло­гии функ­ций — слож­ной функ­ци­ей. Так же, как и в ана­ли­ти­че­ской за­пи­си, ре­зуль­тат ком­по­зи­ции мож­но по­лу­чить, ли­бо по­сле­до­ва­тель­но вы­пол­няя со­став­ля­ю­щие её дей­ствия, ли­бо как-то пре­об­ра­зо­вав и при­ме­нив уже в «упро­щён­ном» ви­де. При этом пре­об­ра­зо­ван­ный объ­ект внешне мо­жет быть со­вер­шен­но не по­хож на из­на­чаль­ные, из ко­то­рых он по­лу­чал­ся.

А что же бу­дет, ес­ли оси сим­мет­рий не па­рал­лель­ны?

Ком­по­зи­ци­ей двух осе­вых сим­мет­рий с непа­рал­лель­ны­ми ося­ми яв­ля­ет­ся по­во­рот с цен­тром в точ­ке пе­ре­се­че­ния осей. При этом угол, на ко­то­рый по­во­ра­чи­ва­ет­ся фигу­ра, ра­вен удво­ен­но­му уг­лу меж­ду ося­ми. Как и в слу­чае со сдви­гом, вер­но и об­рат­ное — лю­бой по­во­рот на плос­ко­сти рас­кла­ды­ва­ет­ся на две осе­вые сим­мет­рии.

Шар­нир­ный ме­ха­низм, ос­но­ван­ный на ром­бе, ре­а­ли­зу­ет пре­об­ра­зо­ва­ние по­во­ро­та плос­ко­сти.

А те­перь к плос­ко­сти (на при­ме­ре на­шей фигу­ры) при­ме­ним по­сле­до­ва­тель­но па­рал­лель­ный пе­ре­нос, а за­тем по­во­рот. Мож­но ли ка­ким-то од­ним пре­об­ра­зо­ва­ни­ем сов­ме­стить ис­ход­ную и ко­неч­ную фигу­ры?

Раз­ло­жим ис­поль­зо­ван­ный по­во­рот на две сим­мет­рии. Из этой кар­тин­ки вид­но, что этап по­лу­че­ния се­ро­го тре­уголь­ни­ка и по­том при­ме­не­ния к нему од­ной сим­мет­рии мож­но за­ме­нить про­сто на од­ну сим­мет­рию. А та­кая кар­тин­ка — ком­по­зи­ция двух осе­вых сим­мет­рий с непа­рал­лель­ны­ми ося­ми — нам уже зна­ко­ма, это есть про­сто по­во­рот.

На­ри­су­ем тре­уголь­ник на сто­ле. По­ло­жив ли­сток бу­ма­ги по­верх, об­ве­дём фигу­ру. Под­ни­мем ли­сто­чек и от­пу­стим, чтобы он слу­чай­ным об­ра­зом опу­стил­ся на стол, но при этом не пе­ре­вер­нул­ся. Тем са­мым по­лу­че­но, как го­во­рят ма­те­ма­ти­ки, «в об­щем ви­де» дви­же­ние плос­ко­сти — пре­об­ра­зо­ва­ние, со­хра­ня­ю­щее рас­сто­я­ния и не ме­ня­ю­щее ори­ен­та­цию. Ко­неч­но, мог­ло так слу­чить­ся, что фигу­ры от­ли­ча­ют­ся па­рал­лель­ным пе­ре­но­сом, но ве­ро­ят­ность, что ли­сто­чек ля­жет так ак­ку­рат­но, очень ма­ла. Во всех дру­гих слу­ча­ях это — про­сто по­во­рот с неко­то­рым цен­тром на неко­то­рый угол!