Принцип неопределённости

Квантовая механика

Δ x ⋅ Δ p x ⩾ ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p_{x}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}

Введение
Математические основы

Основа

Фундаментальные понятия

Эксперименты

Развитие теории

Сложные темы

Известные учёные

Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой механике — фундаментальное соображение (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих систему квантовых наблюдаемых, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного полей). Более доступно он звучит так: чем точнее измеряется одна характеристика частицы, тем менее точно можно измерить вторую. Соотношение неопределённостей задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней физической квантовой механики. Является следствием принципа корпускулярно-волнового дуализма.

Краткий обзор

Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых. Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана, так и для неидеальных измерений.

Согласно принципу неопределённости у частицы не могут быть одновременно точно измерены положение и скорость (импульс). Принцип неопределённости уже в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда не реализуется ни одна из двух крайних ситуаций (полностью определённый импульс и полностью неопределённая пространственная координата — или полностью неопределённый импульс и полностью определённая координата).

Пример: частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке с идеально отражающими стенками; она не характеризуется ни определённым значением импульса (учитывая его направление!), ни каким-либо определённым «положением» или пространственной координатой (волновая функция частицы делокализована в пределах всего пространства коробки, то есть её координаты не имеют определённого значения, локализация частицы осуществлена не точнее размеров коробки).

Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного измерения любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины. Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно измерить её координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для координаты).

Соотношение неопределённостей в квантовой механике в математическом смысле есть прямое следствие некоего свойства преобразования Фурье.

Существует точная количественная аналогия между соотношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может одновременно иметь и точное значение времени его фиксации, как его имеет очень короткий импульс, и точного значения частоты, как это имеет место для непрерывного (и в принципе бесконечно длительного) чистого тона (чистой синусоиды). Временно́е положение и частота волны математически полностью аналогичны координате и (квантово-механическому) импульсу частицы. Что совсем не удивительно, если вспомнить, что p x = ℏ k x , {\displaystyle p_{x}=\hbar k_{x},} то есть импульс в квантовой механике — это и есть пространственная частота вдоль соответствующей координаты.

В повседневной жизни (наблюдая макроскопические объекты или микрочастицы, перемещающиеся в макроскопических областях пространства) мы обычно не наблюдаем квантовую неопределённость потому, что значение ℏ {\displaystyle \hbar } чрезвычайно мало, и поэтому являющиеся следствием соотношений неопределённости эффекты настолько ничтожны, что не улавливаются измерительными приборами или органами чувств.

Определение

Если имеется несколько (много) идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического отклонения Δ x {\displaystyle \Delta x} координаты и среднеквадратического отклонения Δ p {\displaystyle \Delta p} импульса, мы найдем что:

Δ x Δ p ⩾ ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}},

где ħ — приведённая постоянная Планка.

Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей — в нерелятивистской физике состояние может быть таким, что x {\displaystyle x} может быть измерен со сколь угодно большой точностью, но тогда p {\displaystyle p} будет известен только приблизительно, или наоборот p {\displaystyle p} может быть определён со сколь угодно большой точностью, в то время как x {\displaystyle x} — нет. Во всех же других состояниях и x {\displaystyle x} , и p {\displaystyle p} могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

В релятивистской физике в системе отсчёта, покоящейся относительно микрообъекта, существует минимальная погрешность измерения его координат Δ q ∼ ℏ m c {\displaystyle \Delta q\sim {\frac {\hbar }{mc}}} . Этой погрешности отвечает неопределённость импульса Δ p ∼ m c {\displaystyle \Delta p\sim mc} , соответствующая минимальной пороговой энергии для образования пары частица-античастица, в результате чего сам процесс измерения теряет смысл.

В системе отсчёта, относительно которой микрообъект движется с энергией ϵ {\displaystyle \epsilon } минимальная погрешность измерения его координат: Δ q ∼ ℏ c ϵ {\displaystyle \Delta q\sim {\frac {\hbar c}{\epsilon }}} . В предельном случае ультрарелятивистских энергий энергия связана с импульсом соотношением ϵ = c p {\displaystyle \epsilon =cp} и Δ q ∼ ℏ p {\displaystyle \Delta q\sim {\frac {\hbar }{p}}} , то есть погрешность измерения координаты совпадает с де-бройлевской длиной волны микрообъекта.

Варианты и примеры

Обобщённый принцип неопределённости

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу (как он был впервые предложен Гейзенбергом). В своей общей форме он применим к каждой паре сопряжённых переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения «неопределённостей» двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которая будет приведена далее.

Теорема. Для любых самосопряжённых операторов: A : H → H {\displaystyle A\colon H\to H} и B : H → H {\displaystyle B\colon H\to H} , и любого элемента x {\displaystyle x} из H {\displaystyle H} такого, что A B x {\displaystyle ABx} и B A x {\displaystyle BAx} оба определены (то есть, в частности, A x {\displaystyle Ax} и B x {\displaystyle Bx} также определены), имеем:

⟨ x | A B | x ⟩ ⟨ x | B A | x ⟩ = | ⟨ B x | A x ⟩ | 2 ⩽ | ⟨ A x | A x ⟩ | | ⟨ B x | B x ⟩ | = ‖ A x ‖ 2 ‖ B x ‖ 2 {\displaystyle \langle x|AB|x\rangle \langle x|BA|x\rangle =\left|\langle Bx|Ax\rangle \right|^{2}\leqslant \left|\langle Ax|Ax\rangle \right|\left|\langle Bx|Bx\rangle \right|=\|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}}

Это прямое следствие неравенства Коши — Буняковского.

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости, впервые выведенная в 1930 г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером:

1 4 | ⟨ x | A B − B A | x ⟩ | 2 ⩽ ‖ A x ‖ 2 ‖ B x ‖ 2 . {\displaystyle {\frac {1}{4}}|\langle x|AB-BA|x\rangle |^{2}\leqslant \|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}.}

Это неравенство называют соотношением Робертсона — Шрёдингера.

Оператор A B − B A {\displaystyle AB-BA} называют коммутатором A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} и обозначают как {\displaystyle } . Он определён для тех x {\displaystyle x} , для которых определены оба A B x {\displaystyle ABx} и B A x {\displaystyle BAx} .

Из соотношения Робертсона — Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга:

Предположим, A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} — две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если A B ψ {\displaystyle AB\psi } и B A ψ {\displaystyle BA\psi } определены, тогда:

Δ ψ A Δ ψ B ⩾ 1 2 | ⟨ ⟩ ψ | {\displaystyle \Delta _{\psi }A\,\Delta _{\psi }B\geqslant {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left\right\rangle _{\psi }\right|},

где:

⟨ X ⟩ ψ = ⟨ ψ | X | ψ ⟩ {\displaystyle \left\langle X\right\rangle _{\psi }=\left\langle \psi |X|\psi \right\rangle }

— среднее значение оператора величины X {\displaystyle X} в состоянии ψ {\displaystyle \psi } системы, и

Δ ψ X = ⟨ X 2 ⟩ ψ − ⟨ X ⟩ ψ 2 {\displaystyle \Delta _{\psi }X={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {X}\rangle _{\psi }^{2}}}}

— оператор стандартного отклонения величины X {\displaystyle X} в состоянии ψ {\displaystyle \psi } системы.

Приведённые выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится однако более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика.

То же самое может быть сделано не только для пары сопряжённых операторов (например координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой пары Эрмитовых операторов. Существует отношение неопределённости между напряжённостью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , которые имеют один и тот же собственный вектор ψ {\displaystyle \psi } . В этом случае ψ {\displaystyle \psi } представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} .

Общие наблюдаемые переменные, которые подчиняются принципу неопределённости

Предыдущие математические результаты показывают, как найти соотношения неопределённостей между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

• самое известное отношение неопределённости — между координатой и импульсом частицы в пространстве:

Δ x i Δ p i ⩾ ℏ 2 {\displaystyle \Delta x_{i}\Delta p_{i}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}

Из принципа неопределённости между импульсом и координатой следует, что чем меньше исследуемые расстояния, тем большей энергией должны обладать элементарные частицы. В ультрарелятивистской области ( p ≫ M c {\displaystyle p\gg Mc} ) энергия E {\displaystyle E} пропорциональна импульсу p {\displaystyle p} : E = c p {\displaystyle E=cp} и соотношение неопределённости для импульса и координаты принимает вид Δ E Δ x ⩾ c ℏ 2 {\displaystyle \Delta E\Delta x\geqslant c{\frac {\hbar }{2}}} , так что Δ E ⩾ 10 − 14 Δ x {\displaystyle \Delta E\geqslant {\frac {10^{-14}}{\Delta x}}} , где Δ E {\displaystyle \Delta E} выражено в ГэВ, а Δ x {\displaystyle \Delta x} в см. Этим соотношением определяется энергия элементарных частиц, необходимая для достижения заданных малых расстояний между ними. Для сближения элементарных частиц на расстояния 10 − 14 {\displaystyle 10^{-14}} см и меньше нужно сообщить им энергию, большую 1 {\displaystyle 1} ГэВ.

• отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:

Δ J i Δ J j ⩾ ℏ 2 | ⟨ J k ⟩ | {\displaystyle \Delta J_{i}\Delta J_{j}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}\left|\left\langle J_{k}\right\rangle \right|}где i , {\displaystyle i,}j , {\displaystyle j,}k {\displaystyle k}различны и J i {\displaystyle J_{i}}обозначает угловой момент вдоль оси x i {\displaystyle x_{i}}.

• следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:

Δ E Δ t ⩾ ℏ 2 {\displaystyle \Delta E\Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}

Это соотношение можно понимать одним из трёх возможных способов:

1. Δ E {\displaystyle \Delta E} — неопределённость энергии состояния микрообъекта, пребывающего в этом состоянии время Δ t {\displaystyle \Delta t} .
2. Δ E {\displaystyle \Delta E} — неопределённость энергии микрообъекта в некотором процессе длительностью Δ t {\displaystyle \Delta t} .
3. Δ E {\displaystyle \Delta E} — максимальная точность определения энергии квантовой системы, достижимая путём процесса измерения, длящегося время Δ t {\displaystyle \Delta t} .

Единого мнения о выводимости этого соотношения из остальных аксиом квантовой механики нет.

• Соотношение неопределённости между числом фотонов и фазой волны. Рассмотрим монохроматическое электромагнитное излучение в

некотором объёме. С корпускулярной точки зрения, оно представляет собой коллектив N {\displaystyle N} фотонов с энергией каждого фотона ℏ ω {\displaystyle \hbar \omega } . С волновой точки зрения, оно представляет собой классическую волну с фазой Φ = ω t {\displaystyle \Phi =\omega t} . Корпускулярная N {\displaystyle N} и волновая Φ {\displaystyle \Phi } величины связаны соотношением неопределённостей:

Δ N Δ Φ ⩾ 1 {\displaystyle \Delta N\Delta \Phi \geqslant 1}

Это соотношение следует из соотношения неопределённостей для энергии и времени. Для измерения энергии любого квантового объекта с точностью Δ E {\displaystyle \Delta E} надо затратить время Δ t ⩾ ℏ Δ E {\displaystyle \Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{\Delta E}}} . Неопределённость энергии коллектива фотонов Δ E = ℏ ω Δ N {\displaystyle \Delta E=\hbar \omega \Delta N} , где Δ N {\displaystyle \Delta N} — неопределённость числа фотонов. Чтобы её измерить, необходимо время Δ t ⩾ ℏ ℏ ω Δ N {\displaystyle \Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{\hbar \omega \Delta N}}} . За это время изменение фазы волны Δ Φ = ω Δ t {\displaystyle \Delta \Phi =\omega \Delta t} . Получаем Δ Φ ⩾ 1 Δ N {\displaystyle \Delta \Phi \geqslant {\frac {1}{\Delta N}}} .

• Следует подчеркнуть, что для выполнения условий теоремы, необходимо, чтобы оба самосопряжённых оператора были определены на одном и том же множестве функций. Примером пары операторов, для которых это условие нарушается, может служить оператор проекции углового момента L z {\displaystyle L_{z}} и оператор азимутального угла φ {\displaystyle \varphi } . Первый из них является самосопряжённым только на множестве 2π-периодичных функций, в то время как оператор φ {\displaystyle \varphi } , очевидно, выводит из этого множества. Для решения возникшей проблемы можно вместо φ {\displaystyle \varphi } взять sin ⁡ φ {\displaystyle \sin \varphi } , что приведёт к следующей форме принципа неопределённости:

⟨ ( Δ L z ) 2 ⟩ ⟨ ( Δ sin ⁡ φ ) 2 ⟩ ⩾ ℏ 2 4 ⟨ ( cos ⁡ φ ) 2 ⟩ {\displaystyle \langle (\Delta L_{z})^{2}\rangle \langle (\Delta \sin \varphi )^{2}\rangle \geqslant {\frac {\hbar ^{2}}{4}}\langle (\cos \varphi )^{2}\rangle }. Однако, при ⟨ ( φ ) 2 ⟩ ≪ π 2 {\displaystyle \langle (\varphi )^{2}\rangle \ll \pi ^{2}}условие периодичности несущественно и принцип неопределённости принимает привычный вид: ⟨ ( Δ L z ) 2 ⟩ ⟨ ( Δ φ ) 2 ⟩ ⩾ ℏ 2 4 {\displaystyle \langle (\Delta L_{z})^{2}\rangle \langle (\Delta \varphi )^{2}\rangle \geqslant {\frac {\hbar ^{2}}{4}}}.

Замечание

Для трёхмерного осциллятора принцип неопределённости принимает вид:

⟨ Δ L z ⟩ ⟨ Δ φ ⟩ ( 1 − 3 ( ⟨ Δ φ ⟩ ) 2 π 2 ) ⩾ ℏ 2 {\displaystyle \langle \Delta L_{z}\rangle {\frac {\langle \Delta \varphi \rangle }{(1-{\frac {3(\langle \Delta \varphi \rangle )^{2}}{\pi ^{2}}})}}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}},

а для оператора числа частиц n {\displaystyle n} и угла φ {\displaystyle \varphi } вид:

1 2 ⟨ Δ φ ⟩ ( 1 − 3 ( ⟨ Δ φ ⟩ ) 2 π 2 ) ⩾ ℏ 2 {\displaystyle {\frac {^{\frac {1}{2}}\langle \Delta \varphi \rangle }{(1-{\frac {3(\langle \Delta \varphi \rangle )^{2}}{\pi ^{2}}})}}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}.

(см. А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. 2-е изд., М., Наука, 1971. С. 58-59.)

Вывод в квантовой теории оценивания

Принцип неопределённости координата-импульс альтернативно выводится как оценка максимального правдоподобия в квантовой теории оценивания.

Принцип неопределённости время-энергия альтернативно выводится как выражение квантового неравенства Крамера — Рао в квантовой теории оценивания, в случае когда измеряется положение частицы.

Интерпретации

Основная статья: Интерпретация квантовой механики

Альберту Эйнштейну принцип неопределённости не очень понравился, и он бросил вызов Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу известным мысленным экспериментом (См. дебаты Бор-Эйнштейн для подробной информации): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определённый момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом время уже точно известно. Мы всё ещё хотим точно измерить сопряжённую переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдёт, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчёта, и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно даётся соотношением Гейзенберга.

В пределах широко, но не универсально принятой Копенгагенской интерпретации квантовой механики, принцип неопределённости принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности) произведённая миллионами фотонов, дифрагирующими через щель, может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказан никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Максу Борну: «Бог не играет в кости». Нильс Бор, который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать».

Эйнштейн был убеждён, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орёл, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё, будут известны, а орлы/решки будут всё ещё распределяться случайно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что существуют скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределённости — результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своём поведении.

Принцип неопределённости в популярной литературе

Принцип неопределённости часто неправильно понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событие. Вообще говоря, это не имеет отношения к принципу неопределённости. Почти любой линейный оператор изменяет вектор, на котором он действует (то есть почти любое наблюдение изменяет состояние), но для коммутативных операторов никаких ограничений на возможный разброс значений нет (см. выше). Например, проекции импульса на оси x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} можно измерить вместе сколь угодно точно, хотя каждое измерение изменяет состояние системы. Кроме того, в принципе неопределённости речь идёт о параллельном измерении величин для нескольких систем, находящихся в одном состоянии, а не о последовательных взаимодействиях с одной и той же системой.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузного семечка пальцем. Эффект известен — нельзя предсказать, как быстро или куда семечко исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте «Энтерпрайз» из фантастического телесериала «Звёздный Путь» в телепортаторе. Однако неизвестно, что означает «преодоление принципа неопределённости». На одной из пресс-конференций продюсера сериала Джина Родденберри спросили «Как работает компенсатор Гейзенберга?», на что он ответил «Спасибо, хорошо!»

В романе «Дюна» Фрэнка Герберта: «Предвиденье, — понял он, — словно луч света, за пределами которого ничего не увидишь, он определяет точную меру… и, возможно, ошибку». Оказывается, и в его провидческих способностях крылось нечто вроде принципа неопределённости Гейзенберга: чтобы увидеть, нужно затратить энергию, а истратив энергию, изменишь увиденное.»

Научный юмор

Необычная природа принципа неопределённости Гейзенберга и его запоминающееся название сделали его источником ряда шуток. Утверждают, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

В другой шутке о принципе неопределённости специалиста по квантовой физике останавливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро вы ехали, сэр?» На что физик отвечает: «Нет, но я точно знаю, где я!»

> См. также

• Квантовая механика
• Квантовая физика
• Гейзенбаг
• Закон Гудхарта

Примечания

1. Для каждой пары сопряжённых величин имеется своё соотношение неопределённостей, хотя и имеющее один и тот же вид Δ A ⋅ Δ B ⩾ ℏ {\displaystyle \Delta A\cdot \Delta B\geqslant \hbar } ; поэтому этот термин часто употребляется во множественном числе (соотношения неопределённостей), как в том случае, когда речь идет о соотношениях неопределённостей вообще, так и в случаях, когда имеются в виду несколько конкретных соотношений для разных величин, а не для только одной пары.
2. Существуют, однако, способы частичного обхода этих ограничений, связанные со слабыми измерениями.
3. Это в принципе касается не только частиц, но и любых динамических объектов, например, поля, для которого аналогом координат у частицы служат полевые переменные, а аналогом компонент импульса у частицы — канонические импульсы, связанные с изменением поля со временем.
4. В примере с частицей в коробке модуль импульса, правда, определён, но зато не определено его направление.
5. Проще всего это свойство может быть проиллюстрировано таким рассуждением. Пусть есть некоторая функция f(x) и её фурье-образ (спектр) F(k) — то есть f ( x ) = ∫ F ( k ) e i k x d k . {\displaystyle f(x)=\int F(k)e^{ikx}dk.} Очевидно, что если мы «сожмём функцию f» по x в A раз, то есть перейдём к функции fA(x) = f(Ax), то её спектр растянется во столько же раз: FA(k) = const·F(k/A), поскольку частота каждой спектральной гармоники e i k x {\displaystyle e^{ikx}} этого разложения должны будут, очевидно, умножиться на A. Эта иллюстрация, строго говоря, конечно, носит довольно частный характер, однако она обнажает физический смысл иллюстрируемого свойства: когда мы сжимаем сигнал, его частоты во столько же раз увеличиваются. Не намного сложнее прямым вычислением получить аналогичный вывод для случая гауссовых волновых пакетов, показав, что полуширина гауссова волнового пакета обратно пропорциональна полуширине его спектра (имеющего также гауссов вид). Могут быть доказаны и более общие теоремы, сводящиеся точно к соотношению неопределённостей Гейзенберга, только без ħ в правой части (или, иначе говоря, в точности повторяющие соотношение неопределённостей Гейзенберга при ħ = 1).

Литература

1. А. С. Давыдов Квантовая механика, 2-ое изд., — М.: Наука, 1973.
2. Точнее: «Теория даёт много, но к таинствам Старика она не подводит нас ближе. Во всяком случае, я убеждён, что не играет в кости» (Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten bringt sie uns doch nicht näher. Jedenfalls bin ich überzeugt davon, dass der nicht würfelt). Письмо Максу Борну от 12 декабря 1926 г, цит. Einstein, The Life and Times ISBN 0-380-44123-3
3. Chad Meister Introducing philosophy of religion

• Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — 670 с.
• Яворский Б. М. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. — М.: Оникс, 2007. — 1056 с. — ISBN 978-5-488-01248-6.
• Пономарёв Л. И. По ту сторону кванта. — М.: Молодая гвардия, 1971. — 304 с.

Журнальные статьи

• Heisenberg W. Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. — Zeitschrift für Physik. — 1927. — Vol. 43. — P. 172—198. (Англ. перевод в кн.:: Wheeler J. A., Zurek H. Quantum Theory and Measurement. — Princeton Univ. Press. — 1983. — P. 62-84).
• Мандельштам Л. И., Тамм И. Е. Соотношение неопределённости энергия-время в нерелятивистской квантовой механике. — Изв. Акад. наук СССР (сер. физ.). — 1945. — Т. 9. — С. 122—128.
• Folland G., Sitaram A. The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey. — Journal of Fourier Analysis and Applications. — 1997. — P. 207—238.
• Суханов А. Д. Новый подход к соотношению неопределённостей энергия-время. — Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 2001. — Том 32. Вып. 5. — С. 1177.

О соотношениях неопределённостей Шрёдингера

• Шрёдингер Э. К принципу неопределённостей Гейзенберга // Избранные труды по квантовой механике. — М.: Наука, 1976. — С. 210—217.
• Додонов В. В., Манько В. И. Обобщения соотношений неопределённостей в квантовой механике. — Труды ФИАН СССР. — 1987. — Том 183. — С. 5-70.
• Суханов А. Д. Соотношения неопределённостей Шрёдингера и физические особенности коррелированно-когерентных состояний. — Теоретическая и математическая физика. — 2002. — Том 132, № 3. — С. 449—468.
• Суханов А. Д. Соотношение неопределённостей Шрёдингера для квантового осциллятора в термостате. — Теоретическая и математическая физика. — 2006. — Том 148, № 2. — С. 295—308.
• Tarasov V. E. Uncertainty relation for non-Hamiltonian quantum systems. — Journal of Mathematical Physics. — 2013. — Vol. 54. — No. 1. — 012112.
• Тарасов В. Е. Вывод соотношения неопределённостей для квантовых гамильтоновых систем. — Московское научное обозрение. — 2011, № 10. — C. 3-6.

Дополнительно

1. Клайн Б. В поисках. Физики и квантовая теория. — М., Атомиздат, 1971. — Тираж 58000 экз. — с. 192-216
2. Гейзенберг В. Развитие интерпретации квантовой теории // Нильс Бор и развитие физики. — М., ИЛ, 1958. — c. 23-45
3. Широков, 1972, с. 20.
4. Готт В. С. Философские вопросы современной физики. — М.: Высшая школа, 1972. — С. 63.
5. Яворский Б. М., Пинский А. А. Основы физики: Учебн. В 2 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. Электродинамика / Под ред. Ю. И. Дика. — 5-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — ISBN 5-9221-0382-2. — С. 136—139.
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М., Наука, 1972. — с. 264-265
7. Медведев Б. В. Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9. — С. 453.
8. Широков, 1972, с. 262.
9. Яворский, 2007, с. 744.
10. Воронцов Ю. И. Соотношение неопределённости энергия — время измерения, УФН, 1981, т. 135, с.337
11. Тарасов Л. В. Соотношения неопределённостей // Основы квантовой механики. — М: Высшая школа, 1978. — С. 42.
12. Хелстром К. Квантовая теория оценивания. Оценка максимального правдоподобия. Принцип неопределённостей // Квантовая теория проверки гипотез и оценивания.— М.: Мир, 1979. — С. 272—277.
13. Хелстром К. Квантовая теория оценивания. Квантовое неравенство Крамера — Рао. Параметр смещения и соотношение неопределённости время-энергия // Квантовая теория проверки гипотез и оценивания.— М.: Мир, 1979. — С. 301—302.

∀ x, y, z

Невозможно одновременно с точностью определить координаты и скорость квантовой частицы.
В обыденной жизни нас окружают материальные объекты, размеры которых сопоставимы с нами: машины, дома, песчинки и т. д. Наши интуитивные представления об устройстве мира формируются в результате повседневного наблюдения за поведением таких объектов. Поскольку все мы имеем за плечами прожитую жизнь, накопленный за ее годы опыт подсказывает нам, что раз всё наблюдаемое нами раз за разом ведет себя определенным образом, значит и во всей Вселенной, во всех масштабах материальные объекты должны вести себя аналогичным образом. И когда выясняется, что где-то что-то не подчиняется привычным правилам и противоречит нашим интуитивным понятиям о мире, нас это не просто удивляет, а шокирует.
В первой четверти ХХ века именно такова была реакция физиков, когда они стали исследовать поведение материи на атомном и субатомном уровнях. Появление и бурное развитие квантовой механики открыло перед нами целый мир, системное устройство которого попросту не укладывается в рамки здравого смысла и полностью противоречит нашим интуитивным представлениям. Но нужно помнить, что наша интуиция основана на опыте поведения обычных предметов соизмеримых с нами масштабов, а квантовая механика описывает вещи, которые происходят на микроскопическом и невидимом для нас уровне, — ни один человек никогда напрямую с ними не сталкивался. Если забыть об этом, мы неизбежно придем в состояние полного замешательства и недоумения. Для себя я сформулировал следующий подход к квантово-механическим эффектам: как только «внутренний голос» начинает твердить «такого не может быть!», нужно спросить себя: «А почему бы и нет? Откуда мне знать, как всё на самом деле устроено внутри атома? Разве я сам туда заглядывал?» Настроив себя подобным образом, вам будет проще воспринять статьи этой книги, посвященные квантовой механике.
Принцип Гейзенберга вообще играет в квантовой механике ключевую роль хотя бы потому, что достаточно наглядно объясняет, как и почему микромир отличается от знакомого нам материального мира. Чтобы понять этот принцип, задумайтесь для начала о том, что значит «измерить» какую бы то ни было величину. Чтобы отыскать, например, эту книгу, вы, войдя в комнату, окидываете ее взглядом, пока он не остановится на ней. На языке физики это означает, что вы провели визуальное измерение (нашли взглядом книгу) и получили результат — зафиксировали ее пространственные координаты (определили местоположение книги в комнате). На самом деле процесс измерения происходит гораздо сложнее: источник света (Солнце или лампа, например) испускает лучи, которые, пройдя некий путь в пространстве, взаимодействуют с книгой, отражаются от ее поверхности, после чего часть из них доходит до ваших глаз, проходя через хрусталик, фокусируется, попадает на сетчатку — и вы видите образ книги и определяете ее положение в пространстве. Ключ к измерению здесь — взаимодействие между светом и книгой. Так и при любом измерении, представьте себе, инструмент измерения (в данном случае, это свет) вступает во взаимодействие с объектом измерения (в данном случае, это книга).
В классической физике, построенной на ньютоновских принципах и применимой к объектам нашего обычного мира, мы привыкли игнорировать тот факт, что инструмент измерения, вступая во взаимодействие с объектом измерения, воздействует на него и изменяет его свойства, включая, собственно, измеряемые величины. Включая свет в комнате, чтобы найти книгу, вы даже не задумываетесь о том, что под воздействием возникшего давления световых лучей книга может сдвинуться со своего места, и вы узнаете ее искаженные под влиянием включенного вами света пространственные координаты. Интуиция подсказывает нам (и, в данном случае, совершенно правильно), что акт измерения не влияет на измеряемые свойства объекта измерения. А теперь задумайтесь о процессах, происходящих на субатомном уровне. Допустим, мне нужно зафиксировать пространственное местонахождение электрона. Мне по-прежнему нужен измерительный инструмент, который вступит во взаимодействие с электроном и возвратит моим детекторам сигнал с информацией о его местопребывании. И тут же возникает сложность: иных инструментов взаимодействия с электроном для определения его положения в пространстве, кроме других элементарных частиц, у меня нет. И, если предположение о том, что свет, вступая во взаимодействие с книгой, на ее пространственных координатах не сказывается, относительно взаимодействия измеряемого электрона с другим электроном или фотонами такого сказать нельзя.
В начале 1920-х годов, когда произошел бурный всплеск творческой мысли, приведший к созданию квантовой механики, эту проблему первым осознал молодой немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг. Начав со сложных математических формул, описывающих мир на субатомном уровне, он постепенно пришел к удивительной по простоте формуле, дающий общее описание эффекта воздействия инструментов измерения на измеряемые объекты микромира, о котором мы только что говорили. В результате им был сформулирован принцип неопределенности, названный теперь его именем:
неопределенность значения координаты неопределенность скорости ,
математическое выражение которого называется соотношением неопределенностей Гейзенберга:
,
где — неопределенность (погрешность измерения) пространственной координаты микрочастицы, — неопределенность скорости частицы, — масса частицы, а — постоянная Планка, названная так в честь немецкого физика Макса Планка, еще одного из основоположников квантовой механики. Постоянная Планка равняется примерно 6,626 x 10–34 Дж·с, то есть содержит 33 нуля до первой значимой цифры после запятой.
Термин «неопределенность пространственной координаты» как раз и означает, что мы не знаем точного местоположения частицы. Например, если вы используете глобальную систему рекогносцировки GPS, чтобы определить местоположение этой книги, система вычислит их с точностью до 2-3 метров. (GPS, Global Positioning System — навигационная система, в которой задействованы 24 искусственных спутника Земли. Если у вас, например, на автомобиле установлен приемник GPS, то, принимая сигналы от этих спутников и сопоставляя время их задержки, система определяет ваши географические координаты на Земле с точностью до угловой секунды.) Однако, с точки зрения измерения, проведенного инструментом GPS, книга может с некоторой вероятностью находиться где угодно в пределах указанных системой нескольких квадратных метров. В таком случае мы и говорим о неопределенности пространственных координат объекта (в данном примере, книги). Ситуацию можно улучшить, если взять вместо GPS рулетку — в этом случае мы сможем утверждать, что книга находится, например, в 4 м 11 см от одной стены и в 1м 44 см от другой. Но и здесь мы ограничены в точности измерения минимальным делением шкалы рулетки (пусть это будет даже миллиметр) и погрешностями измерения и самого прибора, — и в самом лучшем случае нам удастся определить пространственное положение объекта с точностью до минимального деления шкалы. Чем более точный прибор мы будем использовать, тем точнее будут полученные нами результаты, тем ниже будет погрешность измерения и тем меньше будет неопределенность. В принципе, в нашем обыденном мире свести неопределенность к нулю и определить точные координаты книги можно.
И тут мы подходим к самому принципиальному отличию микромира от нашего повседневного физического мира. В обычном мире, измеряя положение и скорость тела в пространстве, мы на него практически не воздействуем. Таким образом, в идеале мы можем одновременно измерить и скорость, и координаты объекта абсолютно точно (иными словами, с нулевой неопределенностью).
В мире квантовых явлений, однако, любое измерение воздействует на систему. Сам факт проведения нами измерения, например, местоположения частицы, приводит к изменению ее скорости, причем непредсказуемому (и наоборот). Вот почему в правой части соотношения Гейзенберга стоит не нулевая, а положительная величина. Чем меньше неопределенность в отношении одной переменной (например, ), тем более неопределенной становится другая переменная (), поскольку произведение двух погрешностей в левой части соотношения не может быть меньше константы в правой его части. На самом деле, если нам удастся с нулевой погрешностью (абсолютно точно) определить одну из измеряемых величин, неопределенность другой величины будет равняться бесконечности, и о ней мы не будем знать вообще ничего. Иными словами, если бы нам удалось абсолютно точно установить координаты квантовой частицы, о ее скорости мы не имели бы ни малейшего представления; если бы нам удалось точно зафиксировать скорость частицы, мы бы понятия не имели, где она находится. На практике, конечно, физикам-экспериментаторам всегда приходится искать какой-то компромисс между двумя этими крайностями и подбирать методы измерения, позволяющие с разумной погрешностью судить и о скорости, и о пространственном положении частиц.
На самом деле, принцип неопределенности связывает не только пространственные координаты и скорость — на этом примере он просто проявляется нагляднее всего; в равной мере неопределенность связывает и другие пары взаимно увязанных характеристик микрочастиц. Путем аналогичных рассуждений мы приходим к выводу о невозможности безошибочно измерить энергию квантовой системы и определить момент времени, в который она обладает этой энергией. То есть, если мы проводим измерение состояния квантовой системы на предмет определения ее энергии, это измерение займет некоторый отрезок времени — назовем его . За этот промежуток времени энергия системы случайным образом меняется — происходят ее флуктуация, — и выявить ее мы не можем. Обозначим погрешность измерения энергии . Путем рассуждений, аналогичных вышеприведенным, мы придем к аналогичному соотношению для и неопределенности времени, которым квантовая частица этой энергией обладала:
.
Относительно принципа неопределенности нужно сделать еще два важных замечания:

1. он не подразумевает, что какую-либо одну из двух характеристик частицы — пространственное местоположение или скорость — нельзя измерить сколь угодно точно;
2. принцип неопределенности действует объективно и не зависит от присутствия разумного субъекта, проводящего измерения.

Иногда вам могут встретиться утверждения, будто принцип неопределенности подразумевает, что у квантовых частиц отсутствуют определенные пространственные координаты и скорости, или что эти величины абсолютно непознаваемы. Не верьте: как мы только что видели, принцип неопределенности не мешает нам с любой желаемой точностью измерить каждую из этих величин. Он утверждает лишь, что мы не в состоянии достоверно узнать и то, и другое одновременно. И, как и во многом другом, мы вынуждены идти на компромисс. Опять же, писатели-антропософы из числа сторонников концепции «Новой эры» иногда утверждают, что, якобы, поскольку измерения подразумевают присутствие разумного наблюдателя, то, значит, на некоем фундаментальном уровне человеческое сознание связано с Вселенским разумом, и именно эта связь обусловливает принцип неопределенности. Повторим по этому поводу еще раз: ключевым в соотношении Гейзенберга является взаимодействие между частицей-объектом измерения и инструментом измерения, влияющим на его результаты. А тот факт, что при этом присутствует разумный наблюдатель в лице ученого, отношения к делу не имеет; инструмент измерения в любом случае влияет на его результаты, присутствует при этом разумное существо или нет.
Энциклопедия Джеймса Трефила «Природа науки. 200 законов мироздания».
Джеймс Трефил — профессор физики университета Джорджа Мэйсона (США), один из наиболее известных западных авторов научно-популярных книг.>Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Два пути развития квантовой механики

Конспект

В 1925 году де Бройль выдвинул теорию о том, что все микроэлементы обладают корпускулярно-волновым дуализмом. Уравнение де Бройля связывает длину волны и импульс объекта микромира.

Гейзенберг задумался, что если рассмотреть классический случай, то любая частица имеет определенную массу, координату, импульс. Но если частица имеет определенный импульс, то она описывается в виде волны, а волна не имеет локализации. И возникает вопрос: какие законы применять в данном случае? Это был первый путь развития квантовой механики. См. Рис. 1.

Рис. 1

С точки зрения квантовой механики не понятно, что такое траектория движения. В механике: траектория – множество точек, в которых оказалось тело в тот или иной момент времени.

Пусть имеется фотон, который падает на поверхность, частично отражается и частично проходит через поверхность. Но фотон не может разделиться, тогда он либо отражается, либо проходит через поверхность. А сказать точно, что случится с фотоном, когда он достигнет этой отражающей поверхности, нельзя. См. Рис. 2.

Рис. 2

Пусть имеется электрон, который двигается с каким-то импульсом. Для того чтобы найти положение электрона в пространстве и измерить его импульс, необходимо послать один фотон, чтобы он провзаимодействовал с электроном и, отраженный от него, нес с собой информацию об электроне. Вследствие дифракции света невозможно применять законы прямолинейного распространения в случае, если предметы имеют размеры порядка длины волны света. Поэтому неопределенность определения координаты заведомо примерно равна длине волны фотона. После взаимодействия с фотоном импульс электрона меняется.

В 1925 году Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности Гейзенберга: см. Рис. 3

Рис. 3

Это соотношение относится ко всем канонически сопряженным величинам.

К каноническим величинам относятся: см. Рис. 4

Рис. 4

Гейзенберг доказал, что неопределенность координаты, умноженная на неопределенность проекции импульса по соответствующей координате, не может быть меньше квантовой постоянной Планка. Такое же соотношение неопределенности справедливо и для неопределенности энергии и неопределенности времени.

Принцип неопределенности Гейзенберга – это основное уравнение квантовой механики.

Ответвление механики, которое организовал Гейзенберг, – матричная механика.

Применим соотношение Гейзенберга к атому водорода (Рис. 5).

Рис. 5

r – радиус атома

p – импульс электрона

ро – импульс, при котором энергия будет иметь минимальное значение

Е – энергия электрона в атоме

Этим было доказано, что электрон никогда не может упасть на ядро.

Из соотношения неопределенности Гейзенберга для атома водорода, что: см. Рис. 6

Рис. 6

Е1 – энергия электрона на первом уровне в атоме водорода

Гейзенберг составил весь спектр атома водорода и не только. Матричная механика Гейзенберга в сочетании с принципом Паули объяснила все трудности, с которыми столкнулась теория Бора. Было объяснено строение всех атомов, была развита квантовая теория твердых тел и т. д.

В 1926 году начался второй путь квантовой механики с волновой механики, которую начал развивать Шредингер.

Каждому объекту микромира сопоставляется определенная длина волны. Шредингер сказал, что если объект имеет длину волны, то он должен описываться волновой функцией. См. Рис. 7.

Рис. 7

А – амплитуда

V – скорость колебания

Е – энергия

Данное уравнение справедливо только для незаряженной частицы.

Шредингер доказал, что для любой заряженной частицы волновая функция должна иметь комплексный вид.

Данная функция позволяет определить вероятность нахождения частицы в той или иной области пространства.

Основное уравнение волновой механики (при фиксированном t): см. Рис. 8

Рис. 8

В волновой механике вводятся операторы физических величин, которые, будучи примененными к пси–функции, позволяют вычислить все собственные значения, интересующие нас о частицах микромира (координату, импульс, энергию и т. д.).

Таким образом квантовая механика развивалась двумя путями, а потом Гейзенберг доказал, что и матричная квантовая механика, и волновая квантовая механика приходят к совершенно одинаковым результатам по всем вопросам и отличаются только математическим аппаратом.